Integration durch Substitution Verständnisfrage

Question

wofür ist die Integration durch Substitution eigentlich da? Um eine z.B verkettete Funktion zu vereinfachen? Und wenn ja, kann man z.B nicht die Produkt/Kettenregel anwenden?? Bitte um Hilfe, stehe aufm Schlauch... :-(

Answer 1

Die Produktregel und die Kettenregel sind Regeln zum Ableiten von Funktionen und nicht Regeln zum Integrieren.

Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel.

Die Partielle-Integration (Produkt-Integration) ist die Umkehrung der Produktregel.

Comments

Wow!!! Danke danke danke :D , jetzt kann ich endlich etwas damit anfangen. Das heißt also, wenn man die Stammfunktion braucht (beim Integrieren) & so etwas wie eine Verkettung vorliegt, dann verwendet man diese Regel (Subtitiution z.B)& wenn man z.B. die Ableitung benötigt, die Produkt/Kettenregel? 

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Richtig. 

Du kannst z.B. die Produktregel nehmen

[u(x)·v(x)]' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)

Wir integrieren hier mal beide Seiten der Gleichung

u(x)·v(x) = ∫ u'(x)·v(x) dx + ∫ u(x)·v'(x) dx

Wir formen diese Gleichung etwas weiter um

∫ u'(x)·v(x) dx = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x) dx

Das ist jetzt die Regel der Partiellen Integration. Ich schreibe sie auch meist etwas anders auf

∫ u(x)·v(x) dx = U(x)·v(x) - ∫ U(x)·v'(x) dx

Man sieht das zuerst ein Teil (Part) integriert wird. Daher auch Partielle Integration.

Die Partielle Integration dient wie du sehen kannst eigentlich nicht um einen Term vollständig zu Integrieren. Es wird eingesetzt um einen leichter zu integrierenden Term zu bekommen.