zeige, dass ℚ( √2) die Körper- und Anordnungsaxiome erfüllt.

Question

Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten die folgende Teilmenge der reellen Zahlen:

ℚ( √2) ={x = a + b√2 | a, b ∈ ℚ}

d.h. jedes Element x ∈ Q( 2) lässt sich in der Form x = a+b√2 mit a, b ∈ Q
schreiben.

Zeigen Sie, dass die Menge Q(√2) bezüglich der gleichen Verknüpfungen +, ·
wie in R die Körperaxiome K1-K9 und Anordnungsaxiome A1-A3 erfüllt.

(Beispiel: Für Axiom K8 muss man zeigen, dass für jedes x ∈ Q(√ 2) mit
x = 0 ein y ∈ Q(√2) existiert, sodass xy = 1 gilt.)

Meine Frage: Wie kann ich jetzt die einzelnen Axiome beweisen? Die Aufgabe gibt es zwar schon in ähnlicher Form, aber wir hatten die Begriffe Unterraum und Untervektorraum noch nicht.

Ich habe so angefangen:

K1: zz: für alle x,y,z∈Q(√2) gilt: x+(y+z)=(x+y)+z

Bew: setze x = a₁ + b₁√2, y= a₂ + b₂√2, z = a₃ + b₃√2

(a₁ + b₁√2+)((a₂ + b₂√2)+( a₃ + b₃√2))=

Was kann ich tun? Wie kann ich begründen?                   

Answer 1

Das war ein guter Anfang. Du hast einen kleinen Fehler gemacht:

Statt    (a₁ + b₁√2+)((a₂ + b₂√2)+( a₃ + b₃√2))=

muss es heißen  (a₁ + b₁√2+)+((a₂ + b₂√2)+( a₃ + b₃√2))=

Jetzt brauchst du das vermutlich nicht so ganz ausführlich zu machen,

sondern kannst ja sagen:

Weil hier im Körper R gerechnet wird, kann ich in dieser langen Summe

die Klammern beliebig setzen und erhalte

((a₁ + b₁√2+)+(a₂ + b₂√2))+( a₃ + b₃√2).

Also ein Axiom nachgewiesen.

Du wirst leicht zeigen können, dass 1+0*wu2 das neutrale Element

der Multiplikation, also das Einselement ist.

Um den Hinweis in Aufgabe auf K8 hinzukriegen, brauchst du zu jedem a+b√(2),

das nicht Null ist, ein c+d√(2), so dass das Produkt 1 ergibt.

Aus (a+bwu2) * (c+dwu2) = 1 folgt in R, da a+bwu2 nicht Null

c+dwu2  =  1/(a+bwu2)  oder bei Erweitern mit a-bwu2

c+dwu2 = (a-bwu2)/(a^2-2b^2)

Also c=a/((a^2-2b^2)     und d=-b/(a^2-2b^2) und die Nenner sind jedenfalls nicht Null, denn

das könnte nur für a=b=0 sein (ausgeschlossen, da a+bwu2 nicht Null) oder

für a^2=2b^2, was für a,b aus Q nicht möglich ist.