Übungen zu Analysis I: Körper- und Anordnungsaxiome herleiten

Question

Aufgabe:

Übungen zu Analysis

Aufgabe 1:

Leiten Sie aus den Körper- und Anordnungsaxiomen her: Für alle \( a, b \in \mathbb{R} \) folgt aus \( a^{3}=b^{3} \) stets \( a=b . \) Dabei ist \( a^{3}:= aaa \).

Aufgabe 2:

Für \( n \in\{0,1,2,3,4,5,6\} \) bezeichne \( \bar{n} \) die Menge der natürlichen Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest \( n \) lassen, also etwa \( \bar{3} = \{3,10,17,24,31,38 \ldots \} \). Bezeichne \( \mathrm{K}:=\{ \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6} \} . \) Zu \( \bar{n}, \bar{m} \in \bar{K} \) existiert eine eindeutig bestimmte Zahl \( k \in\{0,1,2,3,4,5,6\rangle \) mit \( n+m \in \bar{k} . \) Wir definieren \( \bar{n}+\bar{m}:=\bar{k} . \) Analog sei \( \bar{n} \cdot \bar{m} \) definiert durch \( \bar{n} \cdot \bar{m} := \bar{\ell} \), falls \( n \cdot m \in \bar{\ell} . \) Zeigen Sie, dass \( K \) mit den so definierten Verknüpfungen \( + \) und \( \cdot \) die Körperaxiome \( (1.1)-(1.9) \) mit ( \( \mathrm{K} \) anstelle von \( \mathbb{R} \) ) erfüllt. (Das Rechnen mit ganzen Zahlen sei in dieser Aufgabe als bekannt vorausgesetzt.)

Aufgabe 3:

Zeigen Sie, dass auf dem Körper \( (\mathrm{K},+, \cdot) \) aus Aufgabe 2 keine Beziehung erklärt werden kann, so dass die Anordnungsaxiome (2.1) - (2.4) (mit K anstelle von R) erfüllt sind.

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}, \) die zugleich die Ungleichungen $$ (x-1)(x-2)(x-4)<0, \quad x \neq 3, \quad-4 \leq \frac{1}{3-x} \leq 5 $$ erfüllen.

Probleme:

Ich habe gerade mein Lehramtstudium mit Mathe angefangen und habe direkt Probleme mit dem Stoff der Vorlesungen. Dabei werde ich wahrscheinlich auch nicht die einzige sein.

Momentan habe ich noch keinen Plan, wie ich was machen soll, da alles wie neu für mich klingt und bitte euch nun um Hilfe, damit ich mal den Durchbruch schaffe. Ich habe ja die Hoffnung, dass ich's nur einmal richtig verstehen muss und ich es dann vielleicht heraus habe?

Naja, auf jeden Fall habe ich direkt ein Übungsblatt bekommen und verstehe leider gar nichts.

Vielleicht schaffe ich es ja mit eurer Hilfe.

Comments

Es geht anscheinend um geordnete Körper und deren Axiome , vielleicht schaust unter diesenStichpunkt einmal weiter nach.

Bei Aufgabe 4 darf x≠1,x≠2und x≠4 sein , sonst  ist 0=0  .

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Bei Aufgabe 4 darf x≠1,x≠2und x≠4 sein , sonst  ist 0<0 . x=3 ist eine Definitionslücke der 2. Funktion von x. Bei x=1,2,3 und 4 ändern sich die Vorzeichen einer der beiden Funktionen.

Answer 1

Bei Aufgabe 4 kannst du mit einer Skizze à-la Kurvendiskussion der beiden Funktionen beginnen. 

Dort siehst du, welche Schnittpunkte du brauchst für die Fallunterscheidungen. Man kann also einfach mit den Gleichungen rechnen und nachher auf die Ungleichungen zurückkommen.

Ich hab hier mal eine Skizze erstellt, in der du die senkrechten Bereiche selbst noch abgrenzen musst und die Bereiche einzeichnen kannst.  Violett und grün haben übrigens die Gleichung y=5 resp. y=-4.

 

Comments

Also ich habe jetzt einfach mal den Bereich markiert, in dem alles enthalten ist:

 

 

Der schwarze Bereich würde gelten wenn man die letzte Ungleichung beachtet. Aber bei der Gleichung dritten Grades heißt es < 0, also würde dann nicht nur der Bereich gelten, der rosa umrandet ist?

Und dann stellt sich mir noch die Frage, ob ich das berechnen muss, da ein Tipp der Tutoren ist, sich die Axiome anzusehen und Umformungen zu machen?!

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Achtung die eine Ungleichung schränkt die x-Werte (y egal) ein, die andere die y-Werte (x egal)

Die erste Ungleichung sorgt dafür, dass x nicht zwischen 1 und 2 liegen kann. Kleiner als 0 wäre aber möglich. Grösser als 4 aber nicht.

x kann also alles sein von Minus Unendlich bis 1 und dann von 2 bis zum x-Wert des Schnittpunkts der roten Kurve mit y = 5, und dann wieder ab dem x-Wert des Schnittpunkts mit der roten Kurve mit y = - 4 bis zu x = 4.

Schnittpunkte kannst du mit gleichsetzen berechnen.

Die Axiome kann man mE. höchstens dafür brauchen, um das Vorzeichen eines Produkts oder Quotienten zu bestimmen. Wäre Alternative zu dieser 'Kurvendiskussion'. D.h. eine Minikurvendiskussion (Nullstellen und Pole inkl. deren 'Vielfachheit') anhand der Funktionsgleichungen.

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Danke erstmal, bis hierher war mir das alles schonmal eine große Hilfe!

 

Jetzt hab ich trotzdem noch eine Frage offen: Warum kann x nicht zwischen 1 und 2 und mehr als 4 sein? Ich denke, es darf nur nicht genau 1, 2 oder 4 sein?!

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Weil die blaue Kurve in diesem Bereich oberhalb der x-Achse liegt. Da gilt in der 1. Ungleichung > 0, nicht <0.

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Wenn also x1 die Schnittstelle von y=5 und der roten Gleichung und x2 die Schnittstelle der roten Gleichung mit y=-4, dann gilt für alle x die beide Ungleichungen erfüllen: {x ∈ ℝ Ι x < 1 ∧ 2 < x ≤ x1 ∧ x2 ≤ x < 4}

Stimmt das?

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Ja genau. Allerdings muss du das logische 'oder' verwenden. Es kann gar nicht alles simultan erfüllt sein.

 {x ∈ ℝ Ι x < 1 ∨ 2 < x ≤ x1 ∨ x2 ≤ x < 4} 

Anmerkung:

Es kamen heute einige Fragen zu Körpern. Vielleicht helfen dir die Antworten bei den Aufgaben 1.-3.

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Klar, macht Sinn.

Aufgabe 2 habe ich jetzt auch (glaube ich) raus. Allerdings hängt's bei der Folgeaufgabe 3. Hättest du da noch einen Tipp für mich?

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Ich spare mir die Querstriche über den Zahlen.

Aus  3 < 5 müsste gemäss Anordnungsaxiomen folgen, dass 3 + 3 < 5+3. Das wäre aber 6 < 1.  

Kannst du dadurch keinen Widerspruch konstruieren? Wie lauten deine Anordnungsaxiome genau?

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Ja, das sehe ich schon, allerdings heißt es, wir sollen nicht mit den Resten beweisen, da es nur Symbole wären und keine Beweise die für alle Reste stimmen.

(2.1) ∀ a; b ∈ ℝ : a ≠ b , (a < b ∨ b < a) (Vergleichbarkeit)
(2.2) ∀ a; b; c ∈ ℝ : (a < b ∧ b < c) ⇒ a < c (Transitivität)
(2.3) ∀ a; b; c ∈ ℝ : a < b ⇒ a + c < b + c (Monotoniegesetz der Addition)
(2.4) ∀ a; b; c ∈ ℝ : (a < b ∧ 0 < c) ⇒ ac < bc (Monotoniegesetz der Multiplikation)

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Beweisen kann man nichts mit Beispielen. Zum Widerlegen genügt aber ein einziges Gegenbeispiel.

Denn in dem Moment, wo man das hat, kann es ja nicht allg.gültig sein.

Du musst schon mit den Klassen rechnen, also Striche über die Zahlen schreiben.

Beweis durch Widerspruch.

Annahme: Es gibt eine Vergleichbarkeitsrelation, so muss sie sich definieren lassen.

Bei Axiom 1. Vergleichbarkeit müssten alle Klassen paarweise vergleichbar sein.

Bei 0 und 1 müsste 0>1 oder 0<1 gelten.

1. Fall  0<1

Rechenoperationen sind gemäss Aufgabe 2 wie in R definiert. Da kommt man automatisch auf die gleiche oder schlimmstenfalls umgekehrte Anordnung wie bei R.

Gemäss 3. Monotonie der Addition gilt 0 + 1 < 1+1, also 1<2  ,

nochmals 3. ergibt 2<3,   usw. 3<4, 4< 5, 5<6, 6< 0, 

Gemäss mehrfacher Anwendung der Transitivität folgt jetzt der Reihe nach 5<0, 4<0 usw. bis 1<0.

Das widerspricht der Annahme 0<1. wzbw.

Und das muss der Definition einer Ordnung widersprechen.

2. Fall 1<0 analog

Wenn man unbedingt will, kann man den Fall 1<0 auch noch durchspielen.

 

mE. kann man (2.4.) nur anwenden, wenn man ein Element gefunden hat, das grösser als 0 ist.

Bin mal gespannt, wie die 'erwartete' Lösung dieser Aufgabe aussieht.