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Ich denke bei den ersten 2 ist es die Existenz eines Negativen bei den anderen sehe ich aber nicht welches Axiom man nehmen könnte.

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Ich denke bei den ersten 2 ist es die Existenz eines Negativen bei den anderen sehe ich aber nicht welches Axiom man nehmen könnte.

Existenz des Negativen reicht nicht ganz, denn die Gleichung

- ( x+y) = -x - y heißt ja in Worten:

Das Negative von x+y ist die Summe der Negativa von x und von y.

Denn   a - b habt ihr ja vermutlich durch a + ( -b) definiert.

Also musst du zeigen:

Das Negative von x+y ist die Summe der Negativa von x und von y.

Das Negative von x+y ist aber definiert, als dasjenige Element, das zu x+y

addiert 0 ergibt. Die Behauptung ist, dieses sei  -x -y . Also musst du prüfen,

ob das stimmt. Etwa so:

( x+y) + ( -x - y) = ( x+y ) + ( -x + (- y) )   [ Definition der Subtraktion]

                         = (( x+y ) + ( -x) ) + (- y) )    Assoziativität von +

                       = (( y+x ) + ( -x) ) + (- y) )   Kommutativ. von +

                           = ( y+ (x  + ( -x) )   + (- y) ) wieder assoz.

                         =  ( y + 0 )  + (-y)    Eigenschaft des Inversen

                         =  y + (-y)   Eigenschaft. des neutr. El.

                         = 0    Eigenschaft des Inversen.

Also in der Tat: Die Summe von x+y und  -x-y ergibt 0,

und damit ist -x-y das Negative von x+y .

So wäre es jedenfalls ganz ausführlich, und nach der Aufgabenstellung

hört es sich so an, als wenn das gewünscht wäre.

      

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