Extremwertaufgaben Maße eines Rechtecks berechnen?

Question

Aufgabe:

Zwischen dem Graphen f(x) = -1/2x +2 und den Achsen soll ein Rechteck mit maximalen Inhalt einbeschrieben werden.

Welche Maße hat das Rechteck?

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie man solche Aufgaben löst. Bitte keine Ergebnisse sondern nur die Schrittfolge wie man dies löst.

Comments

Du hast eine ähnliche Aufgabe bereits am 7.April gestellt.

Diese hier ist noch einfacher, da die Funktion einfacher ist, aber das Prinzip ist das gleiche. Wo genau kommst Du nicht weiter?

Answer 1

Hallo,

zunächst zum Verständnis der Aufgabe. Schau Dir mal folgendes an:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/ng25e4kt/25/

Dort siehst Du den Graphen der Funktion \(y(x)=-\frac12 x + 2\) (blaue Gerade). Wählt man auf dieser Geraden eine Punkt \(X'\) und zieht zwei achsenparallele Geraden ein, so bilden diese zusammen mit den Koordinatenachsen das bunt markierte Rechteck.

Dieses Rechteck hat die Breite \(x\) und die Höhe \(y\). Und da die obere rechte Ecke auf dem Graphen der Geraden liegt, ist \(y= -\frac12 x + 2\). Folglich ist der Flächeninhalt \(F\) des Rechtecks$$F(x) = x \cdot y = x\left( -\frac 12 x + 2\right)$$

Bewege den Punkt \(X'\) mit der Maus. Dann verändert sich der Flächeninhalt \(F=x\cdot y\) des Rechtecks. An dem grünen Punkt auf der roten Parabel kannst Du ablesen wie groß dieser ist. Diese Parabel ist der Graph von \(F(x)\). Der Wert von \(F\) (bzw. die Fläche des Rechtecks) erreicht genau dann ein Maximum, wenn die Steigung der Parabel \(=0\) wird.

Also leite die Funktion \(F(x)\) nach \(x\) ab, setze die Ableitung zu 0 und löse nach dem \(x\) auf. Dies ist dann der Wert für das \(x\) welches das Rechteck mit der maximalen Fläche erzeugt.

Kontrolle: \(x_{\max} = 2\)

Answer 2

Nebenbedingung: \( \frac{4-u}{v} \)=\( \frac{4}{2} \) oder v=\( \frac{1}{2} \) ·(4-u)

Zielfunktion: A(u)=u·v hier v einsetzten:

A(u)=u·\( \frac{1}{2} \) ·(4-u).

Nullstelle der ersten Ableitung ist eine Seitenlänge des gesuchten Rechtecks.