Umfangsberechnung eines Rechtecks im Koordinatensystem + Extremwertaufgaben

Question

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Gegeben: Parabel p(x)=-0,25x²-0,5x+(11/4)

Die senkrechte Gerade x=a mit a∈]-4,4;0[ schneidet die Parabel im Punkt C_a.

Die Strecke OC_a ist die Diagonale eines Rechtecks R_a, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass für den Umfang des Rechtecks gilt: U(a)=(11/2)-3a-(a²/2)

Aufgabe 2: Berechnen Sie nun die Werte für a, für die der Umfang größer 9,5 LE ist.

Aufgabe 3: Ermitteln Sie den größtmöglichen Umfang U_max.

 

zu Aufgabe 1:

Gehen wir davon aus, dass die beiden weiteren Eckpunkte des Rechtecks B und D heißen. B liegt auf der x-Achse, D auf der y-Achse.

Ich berechne also den Umfang aus den beiden Strecken OB und OD:

U=2*OD+2*OB

Ich habe die folgenden Punkte: O(0;0) ; B(a;0) ; D(0;-0,25a²-0,5a+(11/4))

OB = a

OD = -0,25a2-0,5a+(11/4)

Das bringt mich zu folgender Gleichung:

U(a)=2*(-0,25a2-0,5a+(11/4))+2a

Das schlüssele ich weiter auf und komme  zu:

U(a)=-0,5a²-a+(11/2)+2a

Nun ist in der vorgegebenen Lösung -3a angegeben, während ich hier aber auf +1a kommen würde. Wo liegt mein Fehler?

 

zu Aufgabe 2:

Ich beginne mit der Ungleichung:

(11/2)-3a-(a²/2) > 9,5 <= ergibt sich aus der vorgegebenen Lösung der ersten Aufgabe

Das hätte ich zunächst durch -(11/2) und dann *(-1) begonnen, so dass ich dann folgendes habe:

3a+(a₂/2) < -4

Wie gehe ich nun weiter vor, um die Werte von a zu berechnen?

 

zu Aufgabe 3:

Hier herrscht bei mir vollkommene Ratlosigkeit, da ich mit Extremwertaufgaben noch nie etwas zu tun hatte.

 

Ich bedanke mich schon mal für euere Hilfe!

Comments

Ich vermute den Fehler an der Stelle  OB = a. Da  a  negativ ist, müsstest du mit  OB = |a| = -a  rechnen. Damit solltest du auf die angegebene Lösung kommen.

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Na logisch! Wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht... ;) !

Fehlen noch Aufgaben 2 & 3... :(

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(2) Deine Ungleichung ist äquivalent zu  (a + 2)(a + 4) < 0. Das gilt für -4 < a < -2.

(3) U_max  ermittelst du, indem du die Fuktion  U(a)  in die Scheitelpunktform überführst.

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Ich rechne dann nochmal nach!

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Irgendwie komm ich nur sehr umständlich auf den Scheitelpunkt.
Wie komm ich denn am schnellsten von der Normalform auf die Scheitelpunktform? Wäre toll, wenn du - oder jemand anderes - mir das Schritt für Schritt zeigen könntest!

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So, nun hab ich das Lehrvideo dazu gefunden - tolle Sache! - und bin zu folgender Scheitelpunktform gekommen:
U(a)=-0,5(a+3)2+10

Für a=-3 wäre der Umfang ja U=10, also wie der Scheitelpunkt S(-3|10).

Richtig so?

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Das habe ich auch raus.

Answer 1

Ermitteln der Scheitelpunktform von  U(a) = (11/2) -3a -(a²/2)

y = U(a);

y = -1/2* [ a^2 +6a -11 ];                    //-1/2 ausklammern

y = -1/2* [ a^2 +a*2*3 +3^2 -3^2 -11 ]; //quadratisch Ergänzen

y = -1/2* [ (a +3)^2 -20 ];                   //Zusammenfassen

y = -1/2* [ a -( -3) ]^2  +10;                 //Scheitelpunkt ablesen

SP( -3  |  +10  )

 

lg JR

Comments

Ist es auch die richtige Gleichung?

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Ja, das war genau so, wie ich es letztlich auch gemacht habe. Allerdings brauchte ich dafür viel zu lange und war mir schlussendlich immer noch nicht 100%ig sicher, ob ich richtig liege - deine Antwort hat mir auch für die Zukunft sehr weitergeholfen!

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Ok. :)))   Freut mich, wenn ich helfen konnte.