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a) 1. Weg: Repräsetant der form \( (0, k) \)
Nach Lemma 2.2 .2 hat eine negative \( Z a h l \) a \( a \in \mathbb{Z} \) einen
Vertreter der form \( (0, k) \).
Für \( a=-13 \) wählen wir: \( m_{1}=0 \) und \( n_{\Lambda}=13 \),
Sodass \( \quad a=m_{1}-n_{1}=0-13=-13 \).
Die Āquivalenzklasse lautet \( [0,13]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) :
\( m-n=-13\} \)
2. Weg: anderer Repräsetant, Q.B (2.15)
Ein anderer Verträter der Aquivalenzklassen kann gewählt werden wenn \( m_{2} \) und \( n_{2} \) so gewäht werden, dass die Differenz \( m_{2}-n_{2}=-13 \) bleibt. Wählen wir \( m_{2}=2 \) und \( n_{2}=15 \)
so ergild sich
\( a=m_{2}-n_{2}=2-15=-13 \)
Die Āquivalenzklasse Lautet
\( [2,15]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: m-n=-13\} \)
3. Überprüfen der Āquivalenzkassen \( [0,13] \) und \( [2,15] \) Um \( 2 u \) zeigen, dass \( [0,13]=[\alpha, 15] \), prüfen wir \( o b \) \( (0,13) \sim(2,15) \) ist. Nach der Definition der Relation:
\( \left(m_{1}, n_{1}\right) \sim\left(m_{2}, n_{2}\right) \Leftrightarrow m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1} . \)
Setzen wir ein
\( m_{1}+n_{2}=0+15=15 \text { und } m_{2}+n_{1}=2+13=15 \)
Da \( m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1} \) ist, folgt auch \( (0,13) \sim(2,15) \).
Somit sind die Äquivalenzklassen identisch:
\( [0,13]=[2,15] \)
Die Āquivalenzklasse für \( a=-13 \) :
\( [0,13]=[2.15]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: m-n=-13\} \)
