Operationen und Relation auf Z

Question

Aufgabe:

a) Geben Sie auf zwei verschiedenen Wegen die Äquivalenzklasse für $\mathbb{Z}$ von $a=-13$ an. Weisen Sie nach, dass es sich um die gleiche Äquivalenzklasse und so auch Zahl handelt.

Hinweis: Es gilt $\left(m_{1}, n_{1}\right) \sim\left(m_{2}, n_{2}\right): \Leftrightarrow m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1}$ für alle $m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} \in \mathbb{N}$.

c) Weisen Sie nach, dass das Folgende gilt: Seien $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Aus $a^{2} \mid b$ und $b^{2} \mid c$ folgt $a^{3} \mid c$.

Hinweis: Es gilt $a \mid b: \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}: a k=b$

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei der Aufgabe 1 a und 1 c helfen weiß nicht was ich machen soll

Comments

Wenn du Hilfe bei a) und c) brauchst: Wieso ist dein Fragetitel dann Aufgabe b)?

Was hast du schon versucht? Hast du schon einmal probiert, aufzubröseln, was du eigentlich zu zeigen hast?

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Text erkannt:

a) 1. Weg: Repräsetant der form $(0, k)$

Nach Lemma 2.2 .2 hat eine negative $Z a h l$ a $a \in \mathbb{Z}$ einen
Vertreter der form $(0, k)$.
Für $a=-13$ wählen wir: $m_{1}=0$ und $n_{\Lambda}=13$,
Sodass $\quad a=m_{1}-n_{1}=0-13=-13$.
Die Āquivalenzklasse lautet $[0,13]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ :
$m-n=-13\}$
2. Weg: anderer Repräsetant, Q.B (2.15)

Ein anderer Verträter der Aquivalenzklassen kann gewählt werden wenn $m_{2}$ und $n_{2}$ so gewäht werden, dass die Differenz $m_{2}-n_{2}=-13$ bleibt. Wählen wir $m_{2}=2$ und $n_{2}=15$
so ergild sich
$a=m_{2}-n_{2}=2-15=-13$

Die Āquivalenzklasse Lautet
$[2,15]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: m-n=-13\}$
3. Überprüfen der Āquivalenzkassen $[0,13]$ und $[2,15]$ Um $2 u$ zeigen, dass $[0,13]=[\alpha, 15]$, prüfen wir $o b$ $(0,13) \sim(2,15)$ ist. Nach der Definition der Relation:
$\left(m_{1}, n_{1}\right) \sim\left(m_{2}, n_{2}\right) \Leftrightarrow m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1} .$

Setzen wir ein
$m_{1}+n_{2}=0+15=15 \text { und } m_{2}+n_{1}=2+13=15$

Da $m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1}$ ist, folgt auch $(0,13) \sim(2,15)$.
Somit sind die Äquivalenzklassen identisch:
$[0,13]=[2,15]$

Die Āquivalenzklasse für $a=-13$ :
$[0,13]=[2.15]=\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: m-n=-13\}$

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Bis jetzt hab ich das

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$m_{1}+n_{2}=0+15=15 \text { und } m_{2}+n_{1}=2+13=15$

Da $m_{1}+n_{2}=m_{2}+n_{1}$ ist, folgt auch $(0,13) \sim(2,15)$.Somit sind die Äquivalenzklassen identisch

Sehr gut.

Answer 1

a) Finde $p,q\in \mathbb{N}$, so dass $q = 13+p$ ist. Dann ist

        $\left\{(p',q')\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}|\ (p,q)\sim (p',q')\right\}$

eine Äquivalenzklasse für $\mathbb{Z}$ von $a$. Übliche Schreibweise für diese Äquivalenzklasse ist

        $[(p,q)]_\sim$.

Comments

Ich hab oben meinen Lösungsweg geschickt wäre dieser richtig ?

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$(0, 13)$ und $(2, 15)$ sind zwei Repräsentanten der gesuchten Äquivalenzklasse.

Das solltest du aber nicht als

  $\{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: m-n=-13\}$

formulieren. Das Ziel der Konstruktion mit Äquivalenzklassen ist es ja gerade, zu definieren was negative Zahlen und was Subtraktion ist. In der Definition darfst du deshalb negative Zahlen und Subtraktion noch nicht verwenden.