Besitzt eine Potenzfunktion wie f(x) = 1/x² ein lokales Minimum

Question

Hallo :)


Ich überlege gerade an folgendem:


Hat eine Potenzfunktion der Form f(x) = 1/x² ein lokales Minimum?

Ich denke: nein, kann es aber nicht richtig begründen.

Answer 1

f ( x ) = 1 / x ²

hat höchstens dort ein lokales Minimum, wo gilt

f ' ( x ) = 0

(notwendige Bedingung).

 

Es ist jedoch

f ' ( x ) = ( 1 / x ² ) ' = ( x ^{- 2} ) ' = - 2 * x ^{- 3}  = - 2 / x ³

Die notwendige Bedingung

f ' ( x ) = 0

<=> - 2 / x ³ = 0

aber hat keine reelle Lösung. Es gibt also keine reelle Zahl  x, welche die notwendige Bedingung erfüllt und daher kann f ( x ) kein lokales Minimum (und auch kein lokales Maximum) haben.