Hilfe... (Basis Kern Bild Dimension)

Question

f: R^3 → R^3

f(x) = A*x

A:= 4 6 1

     2 5 3

     7 0 9

Um den Kern zu bestimmen habe ich Gaus angewendet. Ich komme dann auf x = 0 y = 0 und z = 0.

Dann habe ich geschrieben dass der Kern von f der Nullvektor ist. Ist das so richtig?

Und die Dimension des Kerns ist 0 weil wir ja 0 freie Variablen wählen können oder?

Beim Bild von f bin ich mir unsicher. Da habe ich die Pivotelememte eingekreist und dann muss man ja einfach nur in die Ursprungsmatrix schauen oder? Also ist mein Bild :

{lambda1 * (4 2 7) + lambda2 *(6 5 0) + Lambda3 * (1 3 9) | Lamda ist element aus R}

Die Dimension vom Bild ist 3 da muss man einfach nur die Anzahl der pivotelemente anschauen oder?

Wie komme ich jetzt auf die Basis vom Kern und vom Bild. Ich habe zahlreiche Videos angeschaut die mir nicht weiter helfen konnten leider... Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen Bild und Basis vom Bild oder Kern und Basis vom Kern...

Answer 1

Kern ist OK. Und wegen dim(Bild)=3 ist also Bild=ℝ^3.

Basis wären z.B. die 3 kanonischen Einheitsvektoren.

Und Basis des Nullraumes ist die leere Menge.

Comments

Also ist soweit alles richtig was ich geschrieben habe? Und als Basis des Kerns kann ich also aufschreiben:

(4 6 1)

(2 5 3)

(7 0 9)

Die Vektoren aber natürlich anders Rum.

---

Basis des Nullraumes (Kern) ist die leere Menge.

Answer 2

Bild und Kern sind selber Vektorräume und haben somit eine Dimension und eine Basis.

In diesem Falle hat der Kern die Dimension Null und somit die leere Menge als Basis.

Das Bild hat damit automatisch die Dimension 3 und jedes Tripel von 3 linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis.

Comments

Also ist soweit alles richtig was ich geschrieben habe? Und als Basis des Kerns kann ich also aufschreiben:



(4 6 1)

(2 5 3)

(7 0 9)



Die Vektoren aber natürlich anders Rum.

---

erste Frage: korrekt

zweite Frage: Basis des Bildes, ja, nicht des Kerns

Answer 3

Ja das ist korrekt, bei deiner Matrix gilt \(\ker(A)=\{0\}\). Aus dem Dimensionssatz folgt jetzt automatisch, dass \(\mathrm{im}(A)=\mathbb{R}^3\).

Der Kern besitzt nur eine Basis, nämlich \(\mathcal{B}_{\ker}=\emptyset\).

Was die Basis des Bilds angeht, gibt es hier zwei Basen, die man als "kanonisch" betrachten könnte. Entweder einfach die Einheitsbasis, die ist auf jeden Fall naheliegend. Besser finde ich hier im Kontext der linearen Algebra: Wenn du für den Ausgangsvektorraum die Einheitsbasis wählst, dann ist im Zielvektorraum (vergessen wir mal, dass sie das gleiche sind) die natürliche Basiswahl das Bild der Ursprungsbasis, in dem Fall also \(\mathcal{B}_{\mathrm{im}}=\{(4\ 2\ 7)^\intercal,(6\ 5\ 0)^\intercal, (1\ 3\ 9)^\intercal\}\). Dass das eine Basis ist, folgt aus dem Fakt, dass deine Abbildung offenbar bijektiv ist (und damit Basen auf Basen schickt), wie du aus deinen Überlegungen leicht schlussfolgern kannst.