Beweis: x+y < 1+xy wenn 0 < x < 1, 0 < y < 1

Question

Hi, ich will zeigen, dass x+y < 1+xy ist, wenn 0 < x < 1 und 0 < y < 1 gilt. Durch Probieren habe ich rausgefunden, dass frühstens bei x, y = 1 ein x+y = 1+xy rauskommt. Doch wie man da ein vernünftiger Beweis aussieht weiß ich nicht. Danke im Voraus!

Answer 1

Bring alles auf eine Seite der Ungleichung und klammere x aus den beiden Termin mit x aus. Dann sieht man, dass die Ungleichung geschrieben werden kann als:

(x-1)(y-1)>0

Nun per Fallunterscheidung diese Ungleichung untersuchen und das Ergebnis zeigen. (Wann ist ein Produkt positiv?)

Wobei die Ungleichung für (beide) x, y >1 stimmt oder (beide) x, y < 1, also insbesondere für 0<x,y<1