Bestimmung/Beweis des Infimums. √(x+y)/(xy) ≥ 0 , für x,y ≥ 1. Woher kommt 2/d^2?

Question

Bestimmung des Infimums: Durch weiteres Einsetzen von Werten für \( x \) und \( y \) kommt man zum Schluss, dass 0 eine untere Schranke der Menge \( C \) sein könnte. Es gilt natürlich:

\( \frac{\sqrt{x+y}}{x y} \geq 0 \)

denn nach Voraussetzung sind \( x, y \geq 1 \). Wir zeigen nun analog, wie beim Supremum auch, dass es keine größere untere Schranke als 0 geben kann. Oder mit anderen Worten, dass 0 das Infimum der Menge \( C \) ist. Sei dazu \( 0<d<1 \). Wir müssen \( 0+d<\frac{\sqrt{x+y}}{x y} \) zum Widerspruch führen. Dazu sei \( x=y=\frac{2}{d^{2}}>1 \). Woher kommt jetzt aber urplötzlich dieses \( \frac{2}{d^{2}} \) ?

Bestimmung/Beweis des Infimums. √(x+y)/(xy) ≥ 0 , für x,y ≥ 1. Woher kommt 2/d^2?

Leider wird es im Buch nicht erklärt wie man auf 2/d^2 kommt und ich habe schon  ein Schmierblatt verbraucht bei Versuch es herauszufinden.

Answer 1

das 2 / d^2 wird gewählt, um die Ungleichung zum Widerspruch zu führen. Da 0 < d < 1 ist, ist die Wahl x = y = 2 / d^2 > 1 verträglich mit der Bedingung, dass x und y > 1 sind.

Der Beweiser hat sich das 2 / d^2 einfach ausgedacht.

MfG

Mister