Existenz eines Infimums

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll zeigen, dass jede Menge M verschieden der leeren Menge, welche nachn untern beschränkt ist über ein infimum verfügt. Dafür soll ich das Schnittaxiom verwenden, mit dem Supremumsprinzip hab ich es bereits gezeigt.

Problem/Ansatz:

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Sei M eine nach unten beschränkte nichtleete TM vom R und A die Menge aller unteren Schranken von M, d.h. A:= (das was du oben definiert hast). Dann ist Bdefiniert R/A . Da M eine untere Schranke besitzt ist M nicht leer. Da M mindestens ein Element b besitzt, ist auch B nicht leer (alle b>a gehören zu B). Die vereinigung von A und B ist gleich R und b>a. Also ist Bdefiniert R/A der dedekindscher Schnitt. Besitzt M ein kleinstes Element müssen wir nichts mehr veweise , Besitzt M kein kleinstes Element, ist AgeschnittenB leer, denn sonst wäre ja x die untere Schranke und auch das Infimum, also ist ja MTeilmengeB. Da ja jeder ded. schnitt eine Trennzahl besitzt, welche wir mit t bezeichnen, gilt a<=t<=b, folgt, dass t eine untere Schranke von M ist, also in A liegt und damit das kleinste Element von A ist, also das Infimum sein muss.

Ist dieser Beweis richtig?

Answer 1

Vielleicht so:

Sei M nach unten beschränkte nicht leere Teilmenge von ℝ.

Definiere A :={ x∈ℝ| x∉M ∧ x ist untere Schranke von M}

Und B = ℝ \ A .

Dann ist doch A|B ein Dedekindscher Schnitt für das Infimum von M.

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Sei M eine nach unten beschränkte nichtleete TM vom R und A die Menge aller unteren Schranken von M, d.h. A:= (das was du oben definiert hast). Dann ist Bdefiniert R/A . Da M eine untere Schranke besitzt ist M nicht leer. Da M mindestens ein Element b besitzt, ist auch B nicht leer (alle b>a gehören zu B). Die vereinigung von A und B ist gleich R und b>a. Also ist Bdefiniert R/A der dedekindscher Schnitt. Besitzt M ein kleinstes Element müssen wir nichts mehr veweise , Besitzt M kein kleinstes Element, ist AgeschnittenB leer, denn sonst wäre ja x die untere Schranke und auch das Infimum, also ist ja MTeilmengeB. Da ja jeder ded. schnitt eine Trennzahl besitzt, welche wir mit t bezeichnen, gilt a<=t<=b, folgt, dass t eine untere Schranke von M ist, also in A liegt und damit das kleinste Element von A ist, also das Infimum sein muss.

Ist dieser Beweis richtig?

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Muss wohl statt

Da M eine untere Schranke besitzt ist M nicht leer

heißen

Da M eine untere Schranke besitzt ist A nicht leer

Ansonsten erscheint es mit korrekt.

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Hoppsi stimmt:) danke für die Hilfe!