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Bestimmung von Supremum, Infimum, Maximum und Minimum
Um Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der gegebenen Menge zu bestimmen, betrachten wir die Funktion:
\(
f(x, y) = \frac{|1 - xy|}{(1 + x^2)(1 + y^2)}
\)
für \(x, y \in \mathbb{R}\) und \(x \neq y\).
Analyse des Betrags
Der Ausdruck \(|1-xy|\) kann in zwei Fällen unterschieden werden: \(1-xy \geq 0\) und \(1-xy < 0\). Für unsere Zwecke betrachten wir jedoch den Ausdruck als Ganzes, denn für die Bestimmung der Grenzwerte der Funktion (Supremum und Infimum) ist es vorteilhaft, den Einfluss von \(x\) und \(y\) auf den Nenner und Zähler zu untersuchen, unabhängig davon, ob \(1-xy\) positiv oder negativ ist.
Supremum und Maximum
Um das Supremum (und eventuell das Maximum) zu finden, überlegen wir, wie wir den Wert von \(f(x, y)\) maximieren können:
- Der Zähler \(|1-xy|\) kann potenziell groß werden, wenn \(xy\) weit entfernt von 1 ist, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich.
- Der Nenner \((1 + x^2)(1 + y^2)\) wird größer, je größer \(x^2\) und \(y^2\) werden. Um den Bruch insgesamt zu maximieren, wollen wir also den Nenner so klein wie möglich halten.
Da \(x\) und \(y\) verschieden sein müssen, kann der Nenner nie 1 sein (dies wäre nur der Fall, wenn \(x = y = 0\)), aber er wird minimal, wenn \(x\) und \(y\) nahe bei 0 sind.
Jedoch wird durch den Betrag im Zähler der Ausdruck \(|1-xy|\) für \(x \neq y\) und mit beiden nahe 0 auch nahe 1 sein. Betrachten wir \(x\) und \(y\) nahe, aber ungleich 0, scheint das Maximum (und damit das Supremum) daher eher durch die Begrenzung des Betrags als durch das Wachsen des Nenners bestimmt zu sein.
Es gibt aber keinen spezifischen Punkt \((x, y)\), an dem ein tatsächliches Maximum erreicht wird, sofern \(x \neq y\). Denn eine Annäherung an \(xy=1\) mit \(x\) unterschiedlich von \(y\) und beiden sehrnahe 0 kann den Wert steigern, aber ein solches \(xy=1\) ist ausgeschlossen.
Infimum und Minimum
Das Infimum (und potenziell das Minimum) ist interessant, da für jedes \(x\) und \(y\), solange \(xy\) nicht genau 1 ist, der Wert positiv bleibt aufgrund des Betrages im Zähler und der positiven Terme im Nenner.
- Das Minimum von \(f(x, y)\) könnte theoretisch in Betracht kommen, wenn der Zähler nahe 0 ist, was passiert, wenn \(xy\) nahe 1 ist. Da aber \(x \neq y\), und unter Berücksichtigung des Nenners, scheint das Infimum (die untere Grenze) gerade \(0\) zu sein, da wir uns \(1-xy\) beliebig klein machen können, ohne es tatsächlich 0 zu erreichen (für \(xy\) nahe aber nicht gleich 1), während der Nenner positiv bleibt.
Die Schlüsselinsicht ist, dass man \(xy\) immer näher an 1 heranführen kann, ohne dass \(x = y\), und daher kann die Funktion \(f(x, y)\) Werte annehmen, die beliebig nahe an 0 herankommen, ohne es zu erreichen. Daher ist \(\inf(X) = 0\), aber es gibt kein Minimum, da kein \(x, y\) existiert, dass \(f(x, y) = 0\) ergibt, unter der Bedingung \(x \neq y\).
Zusammenfassend:
-
Supremum (sup(X)) von \(X\) ist nicht klar definiert durch die oben genannte Analyse, da sich der Wert beliebig erhöhen lässt, ohne ein Maximum zu erreichen. Eine genauere Betrachtung spezifischer Grenzen von \(x\) und \(y\) könnte notwendig sein, um das Supremum strenger zu bestimmen.
- Es existiert
kein Maximum (max(X)), da kein spezifischer Wert von \(f(x, y)\) identifizierbar ist, der der höchstmögliche ist unter der Bedingung \(x \neq y\).
-
Infimum (inf(X)) = 0, erreichbar mit \(xy\) beliebig nahe an 1, aber nicht gleich 1, mit \(x \neq y\).
- Es existiert
kein Minimum (min(X)), da \(f(x, y)\) nie genau 0 erreicht für \(x \neq y\).
