Finde das Supremum und Infimum dieser Gleichung heraus: {(2xy)/(x^2+y^2) 1}

Question

Aufgabe

Finde das Supremum und Infimum dieser Gleichung heraus: {(2xy)/(x^2+y^2)>1  | 0<x,y<1}

Problem/Ansatz:

Ich verstehe im allgemeinen noch nicht, wie man bei Termen das Supremum und Maximum herausfindet bzw. beweist. Man kann ungefähr abschätzen was sup. und inf. ist, aber ich habe keine Ahnung, wie ich meine Behauptung dann beweisen soll. Kann mir bitte jemand mit dem Beispiel allgemein erklären, wie man das Supremum und Infimum von Termen schnell herausfinden kann.

Comments

Am besten wäre, es wenn sie mir erklären könnten, wie ich meine Behauptung ohne lim beweisen kann

Answer 1

Aloha :)

Wir können die Funktion$$f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\quad;\quad 0<x,y<1$$mit Hilfe der 2-ten binomischen Formel:$$0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\quad\Rightarrow\quad2xy\le x^2+y^2\quad\Rightarrow\quad f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}\le1$$und des Produktes$$x,y>0\quad\Leftrightarrow\quad xy>0\quad\Leftrightarrow\quad f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+y^2}>0$$auf den folgenden Wertebereich einschränken:$$0<f(x,y)\le1$$Das Supremum \(1\) wird für \(x=y\) angenommen. Das Infimum \(0\) wird nicht angenommen, die Funktion kommt ihm aber beliebig nahe.

Comments

Muss nicht noch bewiesen werden, dass sup=1 die kleinstmögliche obee Schranke ist? Wie mache ich das?

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Das haben wir schon getan:$$0\le(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\implies 2xy<x^2+y^2\implies\frac{2xy}{x^2+y^2}\le1$$Das Glechheitszeichen wird gültig, falls \(x=y\) gilt:$$\frac{2\cdot x\cdot x}{x^2+x^2}=\frac{2x^2}{2x^2}=1$$Es kann also keine kleinere obere Schranke als \(1\) geben.

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Achso...dankeschön