Wie berechne ich jetzt die Beschränktheit bzw finde ich Infimum, Supremum, obere Schrank und untere Schrank?

Question

Aufgabe:

$$ a_{n}=\frac{6n+3}{n!} $$

Problem/Ansatz:

Als erstes habe ich die Monotonie überprüft.

hier habe ich bereits eine Vermutung aufgestellt und sage das diese Folge "monoton fallend" ist.

also:

$$a_{n}\gt a_{n+1}$$

Um die Zahlenfolge auf Monotonie zu untersuchen habe ich folgendes berechnet:

$$\frac{6n+3}{n!}-\frac{6(n+1)+3}{(n+1!)}$$

Ergebnis war dann:

$$\frac{6n^2-3n+8}{(n+1)!} \gt 0$$

Und nun zu meiner Frage:

Wie berechne ich jetzt die Beschränktheit bzw. finde ich Infimum, Supremum, obere Schranke und untere Schranke?

Da die Folge monoton fallend ist wäre das erste Glied die kleine obere Schranke.

kann mir einer Anhand eines Beispiel mit der Aufgabe helfen?

Answer 1

$$\frac{6n+3}{n!}=\frac{6n}{n!}+\frac{3}{n!}=\frac{6}{\left(n-1\right)!}+\frac{3}{n!}$$

Die Zähler sind konstant. Die Nenner divergieren gegen ∞. Also konvergieren die Brüche gegen 0 und deren Summe ebenso.

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Folge:$$a_n=\frac{6n+3}{n!}\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Deine Untersuchungen zur Monotonie kann ich im Grunde bestätigen, aber bei der Rechnung hast du irgendeinen Bug drin.

$$a_n-a_{n+1}=\frac{6n+3}{n!}-\frac{6(n+1)+3}{(n+1)!}=\frac{(6n+3)(n+1)}{n!\cdot(n+1)}-\frac{6(n+1)+3}{(n+1)!}$$$$\phantom{a_n-a_{n+1}}=\frac{6n^2+3n+6n+3}{n!\cdot(n+1)}-\frac{6n+6+3}{(n+1)!}=\frac{6n^2+9n+3}{(n+1)!}-\frac{6n+9}{(n+1)!}$$$$\phantom{a_n-a_{n+1}}=\frac{6n^2+3n-6}{(n+1)!}=\frac{6(n^2-1)+3n}{(n+1)!}>0$$Für \(n\in\mathbb N\) ist \(n\ge1\) und daher der Zähler des Bruchs \(\ge3\). Damit ist \(a_n-a_{n+1}>0\) bzw. \(a_{n+1}<a_n\) für alle \(n\in\mathbb N\). Die Folge ist also streng monoton fallend.

Das Maximum ist daher \(a_1=\frac{6\cdot1+3}{1!}=9\). Die Folge konvergiert, denn:

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6n+3}{n!}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{6n}{n!}+\frac{3}{n!}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{6}{(n-1)!}+\frac{3}{n!}\right)=0+0=0$$Die \(0\) selbst wird jedoch nie erreicht, daher ist der Grenzwert \(0\) ein Infimum der Folge \(a_n\).