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Teil I: Aussagen Beweisen oder Widerlegen
a) \( X \) ist eine obere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)
Zur Erinnerung, eine obere Schranke einer Teilmenge \( M \) einer geordneten Menge ist ein Element, das größer oder gleich jedem Element von \( M \) ist. Für die Potenzmenge \( \mathcal{P}(X) \), geordnet durch die Mengeninklusion \( \subset \), bedeutet dies, dass eine obere Schranke von \( M \) eine Menge ist, die jede Menge aus \( M \) als Teilmenge enthält.
Da \( X \) die Menge ist, aus der alle Teilmengen in \( \mathcal{P}(X) \) gebildet werden, enthält \( X \) jede Menge aus \( M \) als Teilmenge. Demnach ist \( X \) eine obere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \), da keine Menge aus \( M \) Elemente enthalten kann, die nicht schon in \( X \) sind.
b) \( \emptyset \) ist eine untere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)
Eine untere Schranke einer Menge \( M \) ist ein Element, das kleiner oder gleich jedem Element von \( M \) ist. In Bezug auf \( \mathcal{P}(X) \) bedeutet dies, dass eine untere Schranke von \( M \) eine Menge ist, die in jeder Menge aus \( M \) enthalten ist.
Die leere Menge \( \emptyset \) ist in jeder Menge als Teilmenge enthalten, unabhängig von den Elementen der Menge. Daher ist \( \emptyset \) tatsächlich eine untere Schranke von \( M \) in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \).
c) \( M \) besitzt ein Supremum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)
Das Supremum (kleinste obere Schranke) von \( M \) wäre die kleinste Menge innerhalb \( \mathcal{P}(X) \), die alle Mengen aus \( M \) als Teilmengen enthält. Ohne spezifische Informationen über \( M \) kann dies theoretisch die Vereinigung aller Mengen in \( M \) sein. Die Vereinigung aller Mengen in \( M \) ist eine Menge, die jedes Element enthält, das in irgendeiner Menge in \( M \) vorkommt, und ist somit per Definition eine obere Schranke. Weil keine kleinere Menge als diese Vereinigung alle Mengen in \( M \) als Teilmengen enthalten könnte, ist diese Vereinigung das Supremum von \( M \).
d) \( M \) besitzt ein Infimum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) \)
Das Infimum (größte untere Schranke) von \( M \) wäre die größte Menge innerhalb \( \mathcal{P}(X) \), die in jeder Menge aus \( M \) als Teilmenge enthalten ist. Theoretisch ist dies der Schnitt aller Mengen in \( M \). Auch wenn alle Mengen in \( M \) keine gemeinsamen Elemente haben, wäre die leere Menge \( \emptyset \) der Schnitt aller Mengen und somit das Infimum von \( M \).
Teil II: Beispiele mit \( X=\{1,2,3\} \) und \( M=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\} \)
e) Besitzt \( M \) ein Minimum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) ? \) Falls ja, bestimmen Sie es.
Ein Minimum wäre die kleinste Menge in \( M \) bzgl. der Mengeninklusion. Da sowohl die Menge \(\{1\}\) als auch \(\{2\}\) keine Teilmengen voneinander sind und \(\{1,2\}\) beide als Teilmengen enthält, sind die Mengen \(\{1\}\) und \(\{2\}\) minimal, aber da es keine Menge in \( M \) gibt, die in beiden enthalten ist und kleiner ist, besitzt \( M \) kein eindeutiges Minimum.
f) Besitzt \( M \) ein Maximum in \( (\mathcal{P}(X), \subset) ? \) Falls ja, bestimmen Sie es.
Ein Maximum wäre die größte Menge in \( M \) bzgl. der Mengeninklusion. Die Menge \(\{1,2\}\) enthält \(\{1\}\) und \(\{2\}\) als Teilmengen und ist somit größer als beide anderen Mengen in \( M \). Demnach ist \(\{1,2\}\) das Maximum von \( M \).
