Hallo Freunde.
Manchmal gibt es Dinge, die man selber vergisst und nicht mehr schafft. Ich hätte hier mal eine Frage zur Linearen Algebra, was mir gerade nicht mehr spontan einfällt:
Sei φ : R^n —> R^n eine lineare Abbildung
Sei dann E = {e_1,…,e_n} die kanonische Basis vom R^n und die n x n Matrix M die darstellende Matrix von φ bzgl. E. Dann gilt bekanntlich det(φ) = det(M).
Nun die Frage:
Wenn v_1,…,v_n beliebige Vektoren im R^n sind, also dargestellt in der Basis E wie
v_i = c_1 e_1 + … + c_n e_n = (c_1, …, c_n) so gilt ja aufgrund der Linearität von φ auch die Gleichheit φ(v_i) = c_1 φ(e_1) + … + c_n φ(e_n) für alle i = 1,..,n.
Entsprechend gilt ja dann auch die Gleichheit von Matrizen derart:
M (v_1 | … | v_n) = (φ(v_1) | … | φ(v_n))
Die Frage ist aber warum gilt diese Gleichheit bzw. wie man das beweisen könnte.
Hierbei ist (v_1 | … | v_n) die n x n Matrix mit v_1,…,v_n als Spalten auf der linken Seite.
Auf der rechten Seite ist (φ(v_1) | … | φ(v_n))
die n x n Matrix mit den Bildern dieser Elemente als Spalten. M ist ja die darstellende Matrix von φ in der Basis E.
