Darstellende Matrix aus Basen bestimmen

Question

Aufgabe:

Seien A = (e1, e2) und B = (e1, e2, e3) die Standardbasen von R^2 und R^3.

Weiterhin haben wir noch die Basen A' = ((1, 2),(1, 3)) und B'= ((1, 2, 3),(3, 1, 3),(3, 2, 1)) von R^2 und R^3.
(i) Bestimmen Sie für die lineare Abbildung f : R^2 → R^3, (x1, x2) ->(x2, x1 +x2, 2x1) die Matrix Mf,A',B'.

Problem/Ansatz:

!

Meine Idee war es die Basis A' in f einzusetzen, um dann dieses Ergebnis mit der Basis B' als linear Kombination zu erhalten, also folgendermaßen:

F(A')= ((1,2))=(2,3,2) und f((1,3))=(3,4,2)

Dann: (2,3,2)= x×(1,2,3)+y×(3,1,3)+z×(3,2,1)

Um dann daraus x,y,z zu erhalten was der erste Eintrag meiner Matrix Mf,A',B' werden sollte, nur leider ist meine Ergebnis krumm und schief (x=0,875, y=-0,5, z=0,875), daher gehe ich davon aus, dass ich einen Fehler gemacht habe oder einfach den falschen Weg habe.

Die Matrix die ich erhalten habe war ((0,875, -0,5, 0,875), (0,938, -0,75, 1,438))...

Ich hoffe jemand kann mir helfen und mir sagen was ich hier falsch gemacht habe.

LG

Answer 1

Dein Ergebnis passt nicht aus mehreren Gründen.

Betrachten wir f und die Matrix eMe (von e nach e)

\(\small f:eMe \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&1\\1&1\\2&0\\\end{array}\right) \)

\(\small f(X): eMe \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) = \left(y, x + y, 2 \; x \right) \)

dann ist  eTa eine Transformation von A' nach e

\(\small eTa \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&1\\2&3\\\end{array}\right)\)

und

eTb eine Transformation von B' nach e

\(\small eTb \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&3&3\\2&1&2\\3&3&1\\\end{array}\right)\)

um nun bMa - also die Abblidung f von Basis A' nach B' zu beschreiben - das soll die vermutlich Deine Notation angeben - setzen wir die Matrizen passend zusammen

\(\small eTb^{-1}\; eMe\; eTa := \left(\begin{array}{rr}\frac{7}{8}&\frac{15}{16}\\-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\\\frac{7}{8}&\frac{23}{16}\\\end{array}\right) \)

Comments

Danke für die schnelle Antwort, aber wir kommst du auf die letzte Matrix? Ist das die Transformationsformel; also einfach nur die Einzelnen Ereignisse multipliziert?

LG :)

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Hm,

wie ich auf die Matrix komme steht doch dort, oder?

in meiner Schreibweise müssen die Basis indexe immer auf einander passen

Also von A nach E - dann Abbildung von E nach E - dann von E nach B ( in der Matrixgleichung gelesen von rechts nach links)... 

Was eine Basistransformation(smatrix) ist weißt Du?

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Ja, alles klar. Tut mir leid, habe es falsch gelesen. Vielen Dank!

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Ajee , lag vielliecht an mir - ich hab die Schreibweise korrigiert - hatte einen Dreher drin - Entschuldigung...

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Aaah okay, Dank dir!