Die darstellende Matrix von f bezüglich der Monombasis bestimmen

Question

Aufgabe:

Auf dem Raum \( \mathbb{R}[x]_{<d} \) der Polynome vom Grad höchstens \( d \) in \( x \) betrachten wir für \( a \in \mathbf{R} \) die Abbildung

\( \varphi:\left\{\begin{array}{rll} \mathbb{R}[x]_{<d} & \rightarrow & \mathbb{R}[x]_{<d} \\ f(x) & \mapsto & f(x+a) \end{array}\right. \)
(a) Zeigen Sie, dass \( \varphi \) linear ist.
(b) Bestimmen Sie für \( d=4 \) die darstellende Matrix von \( \varphi \) bezuglich der Monombasis \( \mathbb{B}=\left(1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich habe a) bereits bewiesen, aber ich habe keine Ahnung, wie ich bei b) vorgehen kann.

Answer 1

Bestimme die Bilder der Basisvektoren. Sie bilden dann die Spalten der Darstellungsmatrix der Abbildung. Bspw. sind \(\varphi(1)=1\) und \(\varphi(x)=x+a\). Beachte dazu die Vektordarstellung von Polynomen mit Hilfe der Koeffizienten.

Comments

Okay, danke. Ich versuche es dann so