Basiswechsel und darstellende Matrix

Question

$$\text{Im}\ \mathbb{R^3} \  \text{sind Basen }A={\{v_1,v_2,v_3}\} \ und \ B= {\{w_1,w_2,w_3}\} \ \text{gegeben durch} \\ v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}, v_3= \begin{pmatrix}  7\\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \\ w_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1  \end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1  \end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \\ \\ \text{Zusätzlich sei eine lineare Abbildung} \ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3\ \text{gegeben durch}\\ f \Bigg(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\Bigg) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}  4x_1 & -2x_2 & +7x_3 \\ x_1 & +7x_2 & +x_3 \\ 4x_1 & +4x_2 & +x_3  \end{pmatrix}\\ \text{(a)Wie lautet die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasis im } \mathbb{R}^3?\\ \text{(b) Berechne die Matrix }T_B^{A}\ \text{des Basiswechsels von A nach B und die Matrix }T_A^{B}\ \text{des Basiswechsels von B nach A}\\ \text{(c) Berechne die darstellenden Matrizen}\ M_A (f)\ und \ M_B (f)$$

Wie muss ich bei den Aufgaben (b) und (c) vorgehen?

Answer 1

Bei bestimme die Matrix M für die gilt :

M*v1=w1 und M*v2=w2 und M*v3=w3.

Das kannst du als Matrizengleichung schreiben und das M damit bestimmen.

Etwa so:

\(   M \cdot   \begin{pmatrix} 1 &4&7\\ 2&5&8 \\ 3&6&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&0&-1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix} \)

Also :

\(  M =  \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&0&-1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix} \cdot   \begin{pmatrix} 1 &4&7\\ 2&5&8 \\ 3&6&0 \end{pmatrix}^{-1}\)

Bei c) Berechne die Bilder der jeweiligen Basisvektoren und stelle die wieder

mit der Basis dar. Die Koeffizienten, die du dabei brauchst bilden die jeweilige

Spalte der Matrix. Für M_A(f) etwa so:

\(    f \Bigg(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\Bigg) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}  21\\18\\15  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  7\\6\\5  \end{pmatrix} \)

Und wegen \( -\frac{11}{3}v_1+\frac{8}{3}v_2+0v_3  = \begin{pmatrix}  7\\6\\5  \end{pmatrix} \)

hast du die erste Spalte der Matrix:

\(  \begin{pmatrix}  -\frac{11}{3}&?&?\\-\frac{11}{3}&?&?\\0&?&? \end{pmatrix} \)

Comments

Diese Lösung zur ersten Frage ist falsch. Siehe die Ausführungen in der 2. Antwort.

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Ist der Ansatz für die Teilaufgabe (c) denn richtig?

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Ja, der Ansatz ist richtig (habe die Zahlen nicht nachgerechnet) - siehe die Antwort von T

Answer 2

Hier ist ein Standard-Vorgehen, dass bei allen Basiswechselaufgaben funktioniert.

Dazu nennen wir die Standard-Basis \(E=\{e_1,e_2,e_3\}\) mit \(e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\) usw.

Schreibe dir die gegebenen Basisvektoren als Spalten von Matrizen auf:

$$V= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix},\: W = \begin{pmatrix} w_1 & w_2 & w_3\end{pmatrix}$$

Damit gilt:

\(\boxed{T_E^A = V,\:T_E^B= W}\) und \(\boxed{T_A^E= V^{-1},\: T_B^E= W^{-1}}\)

D.h., eigentlich besteht die ganze Arbeit nur darin, einmal diese Inversen zu bilden. Der Rest ist nur Matrixmultiplikation:

(b)

Zur Veranschaulichung ein Pfeildiagramm:

\(A\stackrel{T_E^A}{\longrightarrow} E \stackrel{T_B^E}{\longrightarrow} B \)

\(\Longrightarrow \boxed{T_B^A = T_B^E T_E^A =W^{-1}V}\)

\(T_A^B\) ist dann die Inverse von \(T_B^A\).

(c)

Hier hilft auch ein Pfeildiagramm zur Veranschaulichung:

$$\begin{array}{rlcrl} & E & \stackrel{M_E(f)}{\longrightarrow} & E & \\ T_E^A & \uparrow & & \downarrow & T_A^E \\ & A & \stackrel{M_A(f)}{\longrightarrow} & A &\end{array}$$

\(\Longrightarrow \boxed{M_A(f) = T_A^E M_E(f) T_E^A =V^{-1}M_E(f)V}\)

Analog für \(M_B(f)\).

Comments

Danke für die ausführliche Antwort, die hat einige Fragezeichen zu diesem Thema beseitigt. Eine Rückfrage zur Aufgabe (c), welche Matrix ist mit $$M_E(f) gemeint? $$

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Das ist die Matrix, die du im Teil (a) berechnet hast.

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$$ \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 & -2 & 7 \\ 1 & 7 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Ist die Matrix für (a) richtig? Oder muss man da konkret was ausrechnen?