Darstellende Matrix bestimmen (Basiswechsel)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine geordnete Basis B=(b₁,b₂,b₃) und eine lin. Abb. f: V → V mit D(B,B,f) = ((-1,-1,-3),(2,3,2),(2,1,4)).

Es sei C=(c₁,c₂,c₃)=(b₁+b₃,-b₂+b₃,b₁+b₂+b₃). Zeige, dass C eine geordnete Basis von V ist und bestimme D(C,C,f).

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Ansatz: Basiswechselformel für Endomorphismen: D(C,C,f)=D(B,C,id)D(B,B,f)D(B,C,id)^-1. Nur wie bestimme ich D(B,C,id)?

Answer 1

Aloha :)$${_B}D(f)_B=\left(\begin{array}{c}-1 & -1 & 3\\2 & 3 & 2\\2 & 1 & 4\end{array}\right)$$Die geordnete Menge \(C\) ist genau dann eine Basis von \(V\), wenn die Übergangsmatrix von \(C\) zu \(B\) invertierbar ist. Wir stellen die Übergangsmatrix auf, indem wir die neuen Basisvektoren als Spalten eintragen, und berechnen ihre Inverse:$${_B}id_C=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad {_C}id_B={{_B}id_C}^{-1}=\left(\begin{array}{c}2 & -1 & -1\\-1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\quad\checkmark$$Die Inverse existiert, daher ist die Transformation \(C\to B\) eindeutig umkehrbar in \(B\to C\) und \(C\) ist ebenfalls eine Basis desselben Vektorraums.

Einschub zur Info...

Wenn du an \({_B}id_C\) von rechts den Basisvektor \((1|0|0)_C\) multiplizierst erhältst du dessen Darstellung in der Basis \(B\). Das sieht dann so aus:$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)_C=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)_B\;\Rightarrow\;\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)_C\mapsto\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)_B+\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)_B$$$$\Rightarrow\quad \vec c_1\mapsto\vec b_1+\vec b_3$$Dasselbe passiert bei den anderen beiden Vektoren aus \(C\). Daher schreibt man zur Bildung der Transformationsmatrix die \(B\)-Darstellung der \(C\)-Vektoren als Spalten in eine Matrix.

...Einschub Ende

Der Basis-Wechsel ist nun nur noch Arithmetik:

$${_C}D(f)_C={_C}id_B\cdot{_B}D(f)_B\cdot{_B}id_C$$$$\phantom{{_C}D(f)_C}=\left(\begin{array}{c}2 & -1 & -1\\-1 & 0 & 1\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1 & -1 & 3\\2 & 3 & 2\\2 & 1 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{{_C}D(f)_C}=\left(\begin{array}{c}-6 & 6 & -12\\4 & -1 & 6\\8 & -2 & 13\end{array}\right)$$