Basiswechsel, Matrix, darstellende Matrix

Question

wir verzweifeln etwas an dieser Aufgabe. Wie macht man genau diese Aufgabe?

Gegeben sei die lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) mit \( V=W=\mathbb{R}^{3}, \) die über \( f(x)=A x \) mit
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & -2 \end{array}\right) \)
für Spalten \( x \in \mathbb{R}^{3} \) definiert ist. Als Basis von \( V=\mathbb{R}^{3} \) wählen wir \( \mathcal{A}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) mit
\( v_{1}=(3,1,-1)^{\top}, \quad v_{2}=(1,0,-1)^{\top}, \quad v_{3}=(1,1,0)^{\top} \)

Geben Sie eine Basis \( \mathcal{B} \) von \( W \) an, so daß für die darstellende Matrix \( M_{\mathscr{B}}^{\mathcal{A}}(f)=\mathbb{1} \) gilt.

Answer 1

Die gesuchte Basis ist dann B = ( f(v1) , f(v2) , f(v3) ).

Answer 2

Aloha :)$$\left.M^A_B=\operatorname{id}^E_B\cdot M^E_E\cdot\operatorname{id}^A_E\quad\right|M^A_B\stackrel!=\mathbf 1$$$$\left.\mathbf 1=\operatorname{id}^E_B\cdot M^E_E\cdot\operatorname{id}^A_E\quad\right|\operatorname{id}^B_E\text{ von links multiplizieren}$$$$\left.\operatorname{id}^B_E=\operatorname{id}^B_E\cdot\operatorname{id}^E_B\cdot M^E_E\cdot\operatorname{id}^A_E\quad\right|\operatorname{id}^B_E\cdot\operatorname{id}^E_B=\mathbf 1$$$$\left.\operatorname{id}^B_E=M^E_E\cdot\operatorname{id}^A_E\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\operatorname{id}^B_E=\left(\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2\\0 & 0 & -1\\-2 & 3 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\-1 & -1 & 0\end{array}\right)$$$$\operatorname{id}^B_E=\left(\begin{array}{rrr}3 & 1 & -1\\1 & 1 & 0\\-1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Spaltenvektoren sind die gesuchte Basis \(B\) von \(W\).