Formel für diophantische Gleichung

Question

Aufgabe:

Formel für diophantische Gleichung

Text erkannt:

Consequently, we proved that: \( \boldsymbol{Z}^{2^{\prime \prime}}-\sum \limits_{k=0}^{2^{\prime \prime}}\left(2_{k}^{M}\right) 2^{k} \times\left(a^{k}+b^{k}+c^{k}\right) \neq 0 \quad \) for any integers \( \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \) and \( \boldsymbol{Z} \) and for any strictly positive natural number \( \boldsymbol{M} \).
\( N . B \) : Since we are using in this case Newton's generalized binomial theorem, we should remind that we should always consider that: \( 0^{0}=1 \).

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Forscher. Anbei findet ihr ein Bild einer Formel, die ich in meiner Kurzarbeit über diophantische Gleichungen demonstriert habe. Ich würde gerne wissen, ob ihr irgendeine mathematische Nützlichkeit bemerkt, um damit neue Erkenntnisse zu gewinnen.

Hier noch einmal der Link zu meinem Kurzartikel:
https://www.researchgate.net/publication/387410585_A_mathematical_letter_about_a_condition_that_makes_a_Diophantine_equation_have_no_natural_numbers_as_a_solution

Comments

Ich würde zuallererst einen möglichen Beweis auseinandernehmen, da er augenscheinlich fehlerhaft ist. Die behauptete Formel besitzt einige einfache Gegenbeispiele.

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Bitte geben Sie mir ein Gegenbeispiel unter Berücksichtigung von 0^0=1

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Dafür musst du erstmal genauer werden, wie die Forderung, dass \(0^0=1\) hier immer gilt, auf die drei Summanden im letzten Faktor gelten. Willst du die hier z.B. im Fall \(a=-1,b=c=0\) trotzdem als \(1+1+1\) interpretieren? In dem Fall kommen etwas abenteuerliche Ergebnisse.

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Ja. Ich meine, für k=0 ergibt die Reihe immer 1+1+1=3. Dies ist ein Ergebnis der Tatsache, dass 0^0 ist, und es ist eine Tatsache, die sogar von Newtons Binomialformel respektiert wird. Ich glaube nicht, dass Sie ein Gegenbeispiel für die Tatsache finden können, dass 0^0=1 ist, da der kurze Beweis in meinem Artikel sehr offensichtlich und einfach ist.

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Ich habe mir das Mal etwas genauer angeschaut und glaube, es könnte gut stimmen. Die Gegenbeispiele, die ich mir gedacht hatte, funktionieren tatsächlich nur, wenn ich als ersten Summanden dann 1 anstatt 3 wählen darf. Dann würde sich z.B. wie oben angedeutet eine Summer der Form \(\sum\limits_{k=0}^{2^M}{2^M\choose k}(-1)^k2^k=1\) gut anbieten.

In dem \(1+1+1\) Fall kann es gut sein, dass die Formel stimmt. Den Beweis habe ich mir noch nicht genau angeschaut, er ist etwas wurschtelig geschrieben, aber die Idee kommt gut durch. Insbesondere sollte die Summe rechts gar keine Quadratzahl sein können, daraus sollte die Aussage ja schon folgern. Wir könnten ja im Falle einer Quadratzahl immer \(M=1\) wählen und umgekehrt, wenn wir ein \(Z^{2^M}\) haben, können wir es als \(\left(Z^{2^{M-1}}\right)^2\) interpretieren.

Wie genau du aufs Ergebnis kommst, erschließt sich aber noch nicht so ganz.