Central Limit Theorem. Approximate the probability

Question

Aufgabe:

Let \( X_{1}, X_{2}, \ldots X_{81} \) be i.i.d. sample from a population with population mean \( \mu=5 \) and population variance \( \sigma^{2}=4 \) and let \( S=X_{1}+X_{2}+\ldots X_{81} \). Approximate the probability \( P(S \notin[387,423]) \) using the Central limit theorem.

a. \( 68 \% \)
b. \( 78 \% \)
c. \( 45 \% \)
d. \( 32 \% \)

Problem/Ansatz:

Hallo! Brauche Hilfe mit diesem Beispiel.

Comments

Man sollte erkennen, dass E[S] = 81 * 5 und V[S] = 81 * 4 (wie praktisch beim Wurzelziehen).

Answer 1

Berechne Mittelwert und Varianz von \(S\). Wie du aus unabhängigen Zufallsvariablen Mittelwert und Varianz der Summe berechnest solltest du in deinen Unterlagen finden.

Berechne damit \( P(S \notin[387,423]) \) unter der Annahme das \(S\) normalverteilt ist. Diese Annahme ist durch den zentralen Grenzwertsatz gerechtfertigt.

Answer 2

Die Summe dieser 81 Zufallswerten ist Normalverteilt mit den Parametern

μ = 81·5 = 405

σ² = 81·4 = 324 = 18²

Damit ist die Wahrscheinlichkeit

P(387 < S < 423) = Φ((423 - 405)/18) - Φ((387 - 405)/18)
= Φ(1) - Φ(-1) ≈ 68%