Substitutionsregel. Stimmt meine Rechnung?

Question

∫₁² 2ln(x²)dx

z = x²

1dz = 2xdx => dx= 1/2dz

1/2∫₁⁴ 2 ln(z) = 1/2[ln(4)]-[ln1] ≈ stimmt das bis jetzt so?

Comments

1dz = 2xdx => dx= 1/2dz

Emre du Zauberer, was hast du mit dem x gemacht?

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Haha stimmt das nicht?? :(

ich glaube da fehlt das x bei 2 also dx= 1/2xdz oder nicht? :)

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Genau, aber wieder Klammer vergessen:

dx=1/(2x)dz

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Oh :) Danke:)

Und ändert das jetzt was danach kommt? Also bei 1/2∫₁⁴ 2 ln(z) = 1/2[ln(4)]-[ln1] ?? Nein oder? :)

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Das ändert sehr viel. Grenzen hast du gut ersetzt. Vielleicht erkennst du deinen Fehler in deiner Vorgehensweise..

∫₁⁴2ln(z)*1/(2x)dz=∫₁⁴ln(z)/(x)dz

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Weyo :O

Wieso steht jetzt x unter einem Bruchstrich??? :)

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Das kommt durch die Substitution. dx=1/(2x)dz

Wieso steht jetzt x unter einem Bruchstrich??? :)

Das ist eine gute Frage. Was schließt du daraus?

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Naja jetzt denke ich, dass also das war ja so:

z = x²

1dz = 2xdx = dx=  1/2(x)dz

und da 2(x) unter einem Bruchstrich steht, kommt das auch hier unterm Bruchstrich?? :)

Ich weiß, ist eine blöde Begründung

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Ich wollte darauf hinaus, dass du dich in einer Sackgasse befindest.

Außer das Integral lautet ∫₁² x*2ln(x²)dx

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Wieso, ich denke es ist auch mal gut zu erkennen, das man auf dem Holzweg ist.

Aber mit den Logarithmengesetzen ist dieses Integral einfach zu lösen. und diese kennst du doch.

Hint: Der Logarithmus von Produkten entspricht der ....

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Naaja bin mit Logarithmus noch nicht sooo gut :)

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Wieso, hast du doch schon geübt,

Log[a*b]=Log[a]+Log[b]

Nun wende es auf dein Integral an.

Answer 1

Ich hätte das wie folgt gemacht:

 

∫ 2·LN(x^2) dx

Partielle Integration / Produktintegration ∫ u'·v = u·v - ∫ u·v'

∫ 2·LN(x^2) dx = 2·x·LN(x^2) - ∫ 2·x·1/x^2·2·x dx = 2·x·LN(x^2) - ∫ 4 dx = 2·x·LN(x^2) - 4·x

 

Der Rest ist jetzt nur noch einsetzen der Grenzen und sollte einfach sein. Bitte dein Ergebnis bei Wolframalpha überprüfen.

Comments

Ahja darauf bin ich gar nicht gekommen ^^ 7

Ich habe diese Aufgabe im Internet gefunden, da haben die es mit der Substitution gerechnet, also ich habe auch Aufgaben für Substitution gesucht :)

Danke Mathecoach :)

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Es dürfte auch mit Substitution gehen ist aber wohl aufwendiger. Ich bin ja immer etwas faul und nehme meist den Weg der mir am einfachsten erscheint. Das Problem ist das ich bei der Substitution eigentlich durch die Ableitung der Ableitung vom Substitut teilen muss. das wären hier 2x. und die finde ich so nicht als vorhandenes Produkt. Damit bekomme ich dann wieder ein x was erneut zu substituieren ist. Also meiner Meinung nach eher Aufwendig.

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Schick mal den Link, wo die diese Aufgabe mit Substitution gelöst haben.

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@Sigma: http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/diff_int_01_04.htm

weiter unten :)

ah ich habe gerade gemerkt, dass ich hier bei 2x das x vergessen habe :(

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Also doch ∫x*Ln(x^2)dx, dann funktioniert auch Integration durch Substitution. Naja Leichtsinnsfehler sollten nicht passieren. Aber sei es drum. Aber du musst dich schon konzentrieren.

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Ja:( meine Leichtsinnsfehler sind wirklich mein Problem in Mathe:(

einmal schreibe ich die Aufgabe falsch oder vergesse ein x oder keine Ahnung :(

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Das vereinfacht die Rechnung dann auch

∫ 2·x·LN(x^2) dx = ∫ LN(z) dz = z·(LN(z) - 1) = x^2·(LN(x^2) - 1)