Berechnen Sie das folgende Integral mit der Substitutionsregel

Question

Text erkannt:

(ii) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} x \cos x \mathrm{~d} x \)

Berechnen Sie die folgenden Integrale mit der Substitutionsregel

Die Lösung dazu haben wir:

Text erkannt:

Hinweis. Die Kurzschreibweise für die Substitution ist auch erlaubt: Substituieren wir \( u=\sin x \), so ist \( \mathrm{d} u=\cos (x) \mathrm{d} x \) und wir erhalten
\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} x \cos x \mathrm{~d} x=\int \limits_{\sin (0)}^{\sin (\pi / 2)} u^{7} \mathrm{~d} u=\int \limits_{0}^{1} u^{7} \mathrm{~d} x=\frac{1}{8} . \)

So kurz sie auch ist, verstehe ich sie nicht ganz bzw verstehe nicht wieso der Lösungsweg immer verschieden ist. Wieso mache ich hier nicht Integral von 0 bis 1 und dann t⁷ * dx, also t⁷ *1/cos x da t =sin x und dt/dx= cos x.

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Substitutionsregel.

        \(\int_a^b f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm{d}x\)

Auswendig lernen!!!

In deinem Fall:

        \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\underbrace{\sin x}_{g(x)})^7 \underbrace{\cos x}_{g'(x)}\, \mathrm{d}x\)

verstehe ich sie nicht ganz

Was verstehtst du daran nicht?

wieso der Lösungsweg immer verschieden ist

Er ist nicht immer verschieden.

Wieso mache ich hier nicht Integral von 0 bis 1 und dann t⁷ * dx

Weil es keine Regel gibt, die es dir erlaubt, das Integral

      \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^7 \cos x\, \mathrm{d}x\)

zu

      \( \int \limits_{0}^{1} t^7\, \mathrm{d}x\)

umzuformen.

Comments

Ich bin nur verwirrt, da ich fast die identische Aufgabe anders gelöst habe und es richtig war. Nämlich bei der Aufgabe Integral von 0 bis PI/2 sin^3 x cos x dx habe ich letzlich Integral von1 bis 0 sin^3 x * 1/-sin x dt gerechnet und richtigerweise 1/4 raus bekommen.

Was ich noch nicht ganz verstehe: du= cos x dx, wieso wird das du dann auch zu dx, was passiert mit dem cos x und kann man das immer so machen? Gefühlt kann man das cos x so ja ignorieren.

---

Integral von 0 bis PI/2 sin³ x cos x dx habe ich letzlich Integral von1 bis 0 sin3 x * 1/-sin x dt gerechnet und richtigerweise 1/4 raus bekommen.

Die Umformung von

        Integral von 0 bis PI/2 sin3 x cos x dx

zu

        Integral von1 bis 0 sin³ x * 1/-sin x dt

ist falsch und die weitere Umformung zu

        1/4

ist ebenfalls falsch.

du= cos x dx, wieso wird das du dann auch zu dx

Das ist ein Fehler. Es sollte du bleiben.

was passiert mit dem cos x und

Das was in der Formel meiner Antwort mit dem g'(x) passiert.

kann man das immer so machen?

Ja. Mathematische Sätze verlieren nicht mit der Zeit an Gültigkeit.

Gefühlt kann man das cos x so ja ignorieren.

Nein. Es ist das g'(x) in der Substituionsregel. Es muss schon da stehen, um das Integral zu

        \(\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm{d}x\)

umzuformen.

---

Doch noch eine letzte Rückfrage: Woher kommt das du? In der Formel ist es ja f(x) dx

---

Es ist egal, wie du die Integrationsvariable nennst. Du musst halt nur konsistent sein.

Wenn du zum Beispiel

        \(\int_1^4 3x^2\mathrm{d}x\)

ausrechnest, dann wirst du feststellen, das im Ergebnis kein \(x\) mehr vorkommt. Das gleiche Ergebnis bekommst du, wenn du

      \(\int_1^4 3t^2\mathrm{d}t\)

oder

      \(\int_1^4 3u^2\mathrm{d}u\)

berechnest.

\( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{7} x \cos x \mathrm{~d} x=\int \limits_{\sin (0)}^{\sin (\pi / 2)} u^{7} \mathrm{~d} u\)

Wenn du möchtest, dann darfst du das jetzt weiter umformen zu

        \(\int \limits_{\sin (0)}^{\sin (\pi / 2)} x^{7} \,\mathrm{d} x\),

aber auf keinen Fall zu

        \(\int \limits_{\sin (0)}^{\sin (\pi / 2)} u^{7} \mathrm{d} x\)

---

Ok danke dir.

Answer 2

In der Lösung ist ein Schreibfehler. Es muss lauten:
$$\int_0^1 u^7\,{\color{blue}{du}}$$
Eine für Anfänger zunächst seltsam erscheinende, aber später oft hilfreiche Schreibweise der Substitution ist die folgende ohne explizite Einführung einer Substitutionsvariablen:

$$\int_0^{\frac\pi2}\sin^7 x\cos x dx = \int_0^{\frac\pi2}\sin^7 x\,d(\sin x) = \left. \frac{\sin^8 x}{8}\right|_{0}^{\frac\pi2}=\frac 18$$

Einfach mal damit etwas rumprobieren. Wird dir sicher bald gefallen. :-D (.. oder auch nicht ...)

Answer 3

Benutze https://www.integralrechner.de/ zur Hilfe und Selbstkontrolle