Question

Warum zeigt der Gradient in die Richtung des steilsten Anstieges?

Answer 1

Weil er so definiert ist?

Comments

Ja klar. Ich weiß, dass der Gradient der Spaltenvektor aller partiellen Ableitung ist. Meine Frage ist warum  man den höchsten Funktionswert erhält, wenn man von einem Punkt x0 in der Umgebung mit Radius r (r ist die Norm des Gradienten) sich an den Punkt x0 + grad(x0) bewegt dort der höchste Funktionswert in dieser Umgebung vorliegt.

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Weil grad senkrecht auf den Höhenlinien steht.

lul

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Kannst du das beweisen?

Answer 2

Es sei \(f:\R^n \to \R\), \(x \in \R^n\) ein fester Punkt, \(v \in \R^n, \|v\|=1\) eine "Richtung" (euklidische Norm). Dann beschreibt die Funktion

$$g:\R \to \R, g(t):=f(x+tv)$$

die "Wertentwicklung" von f, wenn man sich vom Punkt x längs der Richtung v bewegt. Ihre Ableitung ist nach Kettenregel:

$$g'(0)=\langle \nabla f(x),v\rangle$$

Nach den Eigenschaften des euklidischen Skalarprodukts ist diese Ableitung absolut durch \(\|\nabla f(x)\|\) beschränkt und am größten, nämlich gleich dieser Schranke, wenn \(v=s\nabla f(x)\) mit positivem s ist.