Richtung des steilsten Gradienten in Punkt und Steigung in Punkt

Question

Aufgabe:

Es ist eine Funktion f(x,y) gegeben, die die Höhe eines Berges beschreibt. Zunächst sollte man den Gipfel bestimmen, dazu habe ich einfach den Gradienten gebildet, beide Komponenten gleich 0 gesetzt und somit die einzige Extremstelle (einen Sattelpunkt) erhalten. Nun sollte man die Höhe des Berges bestimmen, dazu einfach die Extremstelle in die Funktion eingesetzt und somit die Höhe erhalten.

Meine Frage dreht sich nun um den letzten Teil der Aufgabe:

"Berechnen Sie die Steigung am Punkt (1,1). Geben Sie die Richtung des steilsten Gradienten an diesem Punkt an."

Problem/Ansatz:

Zur Berechnung der Steigung: Ich habe einfach (1,1) in den Gradienten eingesetzt. Damit sollte ich ja die Steigung an dem Punkt haben. Aus dem zweiten Teil der Frage werde ich jedoch nicht schlau. Die Richtung des Gradienten ist doch bereits die des steilsten Anstiegs, damit ist die Richtung doch bereits durch den Vektor den ich nach einsetzen des Punktes aus dem Gradienten erhalte, gegeben, oder nicht?

Answer 1

Das sehe ich genau so, wie du es beschrieben hast.

Comments

Was würde denn passieren, wenn ich die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten bilde?

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Dann bekommst du m.E. den Wert des steilsten Anstiegs.