Bestimmen Sie, ob folgende Matrizen invertierbar oder singulär sind.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 2(4+4+4=12 \) Punkte).
Bestimmen Sie, ob folgende Matrizen invertierbar oder singulär sind. Wenn die Matrix invertierbar ist, bestimmen Sie die Inverse.
a) \( C=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right) \),
b) \( D=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right) \),
c) \( \quad E=\left(\begin{array}{ccc}0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ -3 & 4 & 1\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß, dass ich die Singularität durch die Determinante erkennen kann. Leider hatten wir bisland keine Determinanten, also darf ich diese nicht bei der Aufgabe verwenden. Im Skript habe ich leider nicht gefunden, wie ich sonst erkennen kann, dass eine Matrix singular ist. Kann mir jemand weiterhelfen? Das Inverse kann ich berechnen.

Answer 1

Kennst Du den Begriff ‚Rang‘ einer Matrix?

Comments

Ich hab nach deiner Frage folgendes gefunden:

Sei A ∈ Km×n mit Zeilenvektoren v1, . . . , vm. Dann heißt
rang A := dim span(v1, . . . , vm)
der Rang von A.

Allerdings verstehe ich das nicht ganz und weiß nicht wie ich es anwenden soll? :/

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Kannst Du ein Gleichungssystem Ax=0 mit A einer quadratischen Matrix und x einem Vektor lösen, z.B. mit dem Gauß-Verfahren?

Wenn es nur die triviale Lösung x=0 gibt, dann hat die Matrix ‚vollen Rang‘, was gleichbedeutend ist mit ‚die Matrix ist regulär‘, ansonsten singulär.

Answer 2

Anscheinend habt Ihr "singulär" als "nicht invertierbar" definiert?!

Wenn ja, dann fang doch an die Inverse zu berechnen. Wenn das geht, dann ist die Matrix invertierbar und Du hast auch gleich die Inverse.

Wenn es nicht geht, dann ist sie singulär.