Bestimmen Sie, ob folgende Matrizen invertierbar oder singulär sind.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie, ob folgende Matrizen invertierbar oder singulär sind. Wenn die Matrix invertierbar ist, bestimmen Sie die Inverse.

a) \( C=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right) \),

b) \( D=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right) \),

c) \( \quad E=\left(\begin{array}{ccc}0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ -3 & 4 & 1\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß, dass ich die Singularität durch die Determinante erkennen kann. Leider hatten wir bisland keine Determinanten, also darf ich diese nicht bei der Aufgabe verwenden. Im Skript habe ich leider nicht gefunden, wie ich sonst erkennen kann, dass eine Matrix singular ist. Kann mir jemand weiterhelfen? Das Inverse kann ich berechnen.

Answer 1

Aloha :)

Um zu prüfen, ob eine \(3\times3\)-Matrix invertierbar ist, untersuche, ob die Spalten der Matrix ein \(3\)-dimensionales Koordinatensystem aufspannen. Wenn sie das nicht tun, wird ein 3-dimensionaler Vektor, auf den die Matrix wirkt, in eine 2-dimensinale Ebene oder auf eine 1-dimensionale Gerade abgebildet. Für die Rücktransformation in den 3-dimensionalen Raum fehlt dir dann die Information über mindestens eine Dimension, sodass die Matrix nicht invertiert werden kann.

Bei der Matrix \(D\) fällt sofort auf, dass die Summe der ersten beiden Spalten \((0;2;6)^T\) ergibt. Das ist das Doppelte der dritten Spalte \((0;1;3)\). Daher sind die 3 Spaltenvektoren bei \(D\) linear abhängig und spannen keinen 3-dimensionalen Raum auf. Die Matrix \(D\) ist daher nicht invertierbar.

Die Matrizen \(C\) und \(E\) sind invertierbar, da die Spaltenvektoren linear unabhängig sind.

Answer 2

Kennst Du den Begriff ‚Rang‘ einer Matrix?

Comments

Ich hab nach deiner Frage folgendes gefunden:

Sei A ∈ Km×n mit Zeilenvektoren v1, . . . , vm. Dann heißt
rang A := dim span(v1, . . . , vm)
der Rang von A.

Allerdings verstehe ich das nicht ganz und weiß nicht wie ich es anwenden soll? :/

---

Kannst Du ein Gleichungssystem Ax=0 mit A einer quadratischen Matrix und x einem Vektor lösen, z.B. mit dem Gauß-Verfahren?

Wenn es nur die triviale Lösung x=0 gibt, dann hat die Matrix ‚vollen Rang‘, was gleichbedeutend ist mit ‚die Matrix ist regulär‘, ansonsten singulär.

Answer 3

Anscheinend habt Ihr "singulär" als "nicht invertierbar" definiert?!

Wenn ja, dann fang doch an die Inverse zu berechnen. Wenn das geht, dann ist die Matrix invertierbar und Du hast auch gleich die Inverse.

Wenn es nicht geht, dann ist sie singulär.