Grenzwert berechnen Folgen

Question

Wie kann man hier vorgehen, um den Grenzwert der Folge zu berechnen (ln, e-Funktion?)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) (1+5/x + 10/x^2)^2x

Comments

Hast du Klammern um 2x vergessen oder steht das x wirklich nicht im Exponenten?

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Wenn es so gemeint ist wie geschrieben, dann ist es einfach: Der erste Faktor ist das Quadrat einer Zahl >1 und der zweite Faktor geht gegen unendlich.

Answer 1

Ich würde mit der Identität

a=e^lna umformen, dann die Näherung  ln(1+x) ≈ x für kleine x verwenden und dann sollte als Grenzwert e¹⁰  

herauskommen^.

Answer 2

Aloha :)

Schreibe den Term in Klammern zunächst etwas um:$$\phantom=1+\frac5x+\frac{10}{x^2}=1+\frac{5x+10}{x^2}=1+\frac{5(x+2)}{x^2}=1+\frac{5}{\frac{x^2}{x+2}}$$$$=1+\frac{5}{\frac{(x^2+\red{2x})-(\red{2x}+\green{4})+\green{4}}{x+2}}=1+\frac{5}{x-2+\frac{4}{x+2}}=1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}$$

Nun kannst du den Exponenten dazu nehmen:$$a(x)=\left(1+\frac5x+\frac{10}{x^2}\right)^{2x}=\left(1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}\right)^{2x\green{-4+\frac{8}{x+2}}\red{+4-\frac{8}{x+2}}}$$$$\phantom{a(x)}=\left(1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}\right)^{2x-4+\frac{8}{x+2}}\left(1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}\right)^4\left(1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}\right)^{-\frac{8}{x+2}}$$

Damit ist der Grenzwert klar:$$\lim\limits_{x\to\infty}a(x)=e^{10}\cdot1^4\cdot1^0=e^{10}$$

Wenn du den ersten Grenzwert \(e^{10}\) nicht direkt siehst, setze \(y\coloneqq2x-4+\frac{8}{x+2}\).

Mit \(x\to\infty\) geht auch \(y\to\infty\) und es gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{10}{2x-4+\frac{8}{x+2}}\right)^{2x-4+\frac{8}{x+2}}=\lim\limits_{y\to\infty}\left(1+\frac{10}{y}\right)^y=e^{10}$$