Sandwichsatz Folgen Grenzwert bestimmen mit Bernoulli-Ungleichung

Question

Text erkannt:

c) \( a_{n}\left(\left(1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5}\right)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)
Nach Bernoulli- Ingleichung
- \( \underbrace{\left(1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5}\right.}_{\text {Es gilt: }{ }^{a_{n}}})^{n} \geq 1-n \frac{1}{n^{2}-2 n+5}=1-\frac{1}{n-2 n+5}=\underbrace{1-\frac{1}{-n+5}}_{b_{k}} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1}{n^{2}-2 n+5} \geq 0 \Rightarrow 1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5} \leq 1 \Rightarrow\left(1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5}\right)^{n} \leq 1 \\ \Rightarrow 1-\frac{1}{-n+5} \leq\left(1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5}\right)^{n} \leq 1 \end{array} \)

Grentuef:
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1-\frac{1}{-n+5}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} 1-\frac{1}{-\frac{1}{-n}}+\frac{1}{5}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{5} \\ \text { folgt aus Sandwichsatz, dass } \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}-2 n+5}\right)=\frac{1}{5} \end{array} \)

Aufgabe:

Guten Abend,

man soll von der oben stehenden Folge die Grenzwerte nach dem Sandwichsatz bestimmen. Da dies sehr der Bernoulli-Ungleichung ähnelt bin ich davon ausgegangen, dass man den Grenzwert mit dieser begründen kann. Allerdings bin ich etwas unsicher, dass nun 1/5 beim Grenzwert herauskommt. Müsste das Ergebnis unten nicht 1 sein? Habe ich etwas falsch gerechnet?

LG

Comments

Nach Anwenden der Bernoulli-Ungleichung hast du \(n\) falsch gekürzt.

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Du hast 2 Bruchrechnungs Fehler gemacht, der 1. Bei der ersten Gleichung - Kürzen von n. Einen weiteren in der letzten Zeile.

Damit solltest Du Dich auseinandersetzen.

Answer 1

Du solltest dringend das Rechnen mit Termen und speziell mit Bruchtermen üben.

Dein Ansatz ist im Prinzip richtig, nur hast du nicht richtig gerechnet.

$$\frac n{n^2-2n+5}= \frac n{n^2\left(1- \frac 2n + \frac 5{n^2}\right)}=\frac 1n \cdot \frac 1{1- \frac 2n + \frac 5{n^2}} \stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}0\cdot 1 = 0$$