Schnittpunkte von Gerade mit Kreis berechnen?

Question

Aufgabe:

Schnittpunkte von Gerade mit Kreis berechnen?

Problem/Ansatz:

Gegeben sind der Kreis k: M=(-2;1), r=5 und der Punkt A=(6;7). Eine Gerade führt durch die Punkte M und A. Ich soll die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis berechnen.

Mein Ansatz:

Erstmal den Vektor MA berechnen und mit dem sich daraus ergebenden Normalvektor die Gerade aufstellen:

6x-8y=-20, wenn man den Normalvektor /2 kürzt,

3x-4y=-10

aus dem habe ich dann zum substituieren folgenden ausdruck in die kreisgleichung eingesetzt: y= 3/4x+2,5 

(also in die allgemeine ausmultiplizierte kreisgleichung, ich schreibe diese jetzt nicht hin da es doch ziemlich lange dauern würde)

das sah dann ausmultipliziert natürlich ziemlich doof aus aber es sind sogar nicht zu schlimme zahlen rausgekommen (habe es in die form der pq-formel verwandelt)

x²-0,8x-12=0 

im Lösungsheft steht, die Schnittpunkte sind S_1:(-6;-2) und S₂: (2;4) , ich wüsste auch nicht wie man hier auf zwei SP kommt

ich hoffe ich habe es halbwegs verständlich erklärt

Answer 1

Der Abstand von M zu A ist 10. Damit ist der Mittelpunkt der Strecke MA schon mal ein Punkt des Kreises.

Den zweiten Schnittpunkt gibt es durch Spiegelung des ersten Schnittpunkts an M.

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ich kann leider nicht spiegeln

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Wenn du S an M spiegeln möchtest ist der Spiegelpunkt S'

S' = M + SM = [-2, 1] + ([-2, 1] - [2, 4]) = [-6, -2]

Skizze

~plot~ 1-sqrt(-x^2- 4x+21);1+sqrt(-x^2- 4x+21);0.75x+2.5;{-2|1};{6|7};{2|4};{-6|-2};[[-12|12|-9|9]] ~plot~

Answer 2

Aloha :)

Wenn wir den Vektor \(\overrightarrow{MA}\) am Mittelpunkt \(M\) des Kreises befestigen, kannst du auf diesem Vektor einfach \(5\) Längeneinheiten von \(M\) in Richtung \(A\) gehen und erhältst dann einen Schnittpunkt. Den zweiten Schnittpunkt erhältst du, wenn du in die entgegengesetzte Richtung gehst. Wir berücksichtigen direkt beide Richtungen durch ein Plus-Minus-Zeichen$$\vec s=\vec m\pm5\cdot\frac{\overrightarrow{MA}}{\overline{MA}}=\binom{-2}{1}\pm5\cdot\frac{\binom{8}{6}}{\sqrt{8^2+6^2}}=\binom{-2}{1}\pm\binom{4}{3}$$

Die beiden Schnittpunkte sind also:\(\quad S_1(-6|-2)\) und \(S_2(2|4)\).

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danke für deine hilfe

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Wenn du dich mit der Vektorrechnung auskennst ist dies der einfachste Weg auf die Schnittpunkte zu kommen. Da brauchst du keine quadratische Gleichung lösen und sonstwas.

Answer 3

x²-0,8x-12=0

Das stimmt fast. Die korrekte Gleichung lautet

\(x^2+4x-12=0\).

Rechne noch einmal nach. Das schaut nach einem eher kleinen Fehler aus. Zeige sonst gerne mal deine Rechnung dazu.

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danke dir aber wenn ich die pq-formel rechne, kommen 6 und -2 heraus, das wäre ja trotzdem noch falsch weil es kann ja nur für entweder x oder y koordinate sein

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Ja, hatte mich beim Vorzeichen vertippt. Es muss \(4x\) sein. Hast du denn deinen Fehler finden können?

Answer 4

Der Kreis hat die Gleichung

\( (x+2)^2+(y-1)^2=25 \)

und die Gerade hat die Gleichung

\(\begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} =\overrightarrow{OM}+ s\cdot\overrightarrow{MA}=\begin{pmatrix} -2\\1\\ \end{pmatrix}+ s\cdot \begin{pmatrix} 6+2\\7-1 \end{pmatrix}\)

Das ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in drei Unbekannten.

Man kann es lösen, und dann hat man die Schnittpunktkoordinaten.

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Da ist der Weg des FS aber tausendmal eleganter. ;)

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Also so wahnsinnig schwer ist das nicht, geht sogar im Kopf:

Die erste Gleichung wird, mit der zweiten und dritten eingesetzt, zu

(8s)^2 + (6s)^2 = 25   ⇔   s = ±1/2

und daraus folgen mit der zweiten und dritten Gleichung direkt die beiden Punkte (2│4) und (-6│-2).

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danke für deine hilfe