Aufgabe:
Sei \( f: \, \mathbb{R}→ \mathbb{R} \) 1-periodisch mit \(f(x) = x(1-x) \) für \(x \in [0,1] \).
a) Entwickeln Sie die Funktion \(f \) in ihre Fourierreihe.
b) Beweisen Sie mit Hilfe der in a) ermittelten Fourierentwicklung die Identität
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \)
Problem/Ansatz:
Zur Fourierreihenentwicklung wurde in der Vorlesung der folgende Satz für 2π-periodische Funktionen eingeführt:
Sei die trigonometrische Reihe
\( \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left[ a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right] = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{ikx} \)
auf \([-\pi, \pi]\) gleichmäßig konvergent und habe dort die Summe \(f(x)\). Dann gelten die Formeln:
\(a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(kx) \, dx, \, k = 0, 1, \dots\),
\(b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(kx) \, dx, \, k = 1, 2, \dots\),
\(c_k = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) e^{-ikx} \, dx, \, k \in \mathbb{Z}\).
Die Zahlen \(a_k\), \(b_k\) bzw. \(c_k\) sind die Fourierkoeffizienten von \(f\), und die trigonometrische Reihe mit den Fourierkoeffizienten wird als Fourierreihe von \(f\) bezeichnet.
Jedoch ist die vorliegende Funktion \(f\) offensichtlich nicht 2π-periodisch (sondern 1-periodisch). Nun habe ich den kühnen Versuch unternommen, die Funktion über eine Substitution in eine 2π-periodische Funktion "umzuwandeln":
Sei \(u = 2\pi x - \pi \Leftrightarrow x = \frac{u+\pi}{2\pi} \Rightarrow f(x) = \frac{u+\pi}{2\pi}(1 - \frac{u+\pi}{2\pi}) = g(u)\). Dann ist \(g(u) \) 2π-periodisch mit \(u \in [-\pi,\pi] \). Auf diese neue Funktion würde ich dann den obigen Satz anwenden und die neue Variable \(u\) im resultierenden Term rücksubstituieren. Danach sollte die Lösung zu b) offensichtlich sein.
Frage: Bin ich damit auf dem richtigen Weg oder gibt es eine einfachere (verallgemeinerbare) Methode?
Vielen Dank im Voraus für eure Antworten.
