Es geht darum folgendes Problem zu lösen: \( \sum\limits_{i=1}^{N} \frac{\frac{\partial}{\partial \sigma} p(x_{i} \vert \mu, \sigma)}{p(x_{i} \vert \mu, \sigma)} \overset{!}{=} 0\) und dann nach \( \sigma \) hin auflösen.
wobei \( p(x_{i} \vert \mu, \sigma) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) \) ist, also einfach die Normalverteilung.
Für die Ableitung des Zählers habe ich folgendes raus:
$$ - \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma^{2}} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \frac{}{} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}) \frac{2(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{3}} $$
und nach dem umstellen und kürzen:
$$ (\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} exp(-\frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}})) (-\frac{1}{\sigma} + \frac{(x_{i} - \mu) ^{2}}{\sigma^{3}})$$
das äußere Produkt ist hier also gleich \( p(x_{i} \vert \mu, \sigma) \) was sich erfolgreich in der Summe mit dem Nenner wegkürzt. Es bleibt:
\( -\sum\limits^{N}_{i=1} -\frac{1}{\sigma} + \frac{(x_{i} - \mu)^{2}}{\sigma^{3}} \overset{!}{=} 0\) und nun muss nach \( \sigma \) aufgelöst werden.
Eigentlich sollte das jedoch die Abschätzung der Varianz entsprechen, also \( \frac{1}{N} \sum\limits^{N}_{i = 1} (x_{i} - \mu)^{2} \). Sprich ich mache einen Fehler, denn auf diese Formel kann man mit der gegebenen Formel nicht kommen soweit ich das sehe. Liegt mein Fehler in der Ableitung? Ich bin für jede Hilfe dankbar.
