Integration durch Substitution...ich finde meinen Fehler nicht..

Question

$$ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { a }{ { (1+ar) }^{ 2 } }  } dr=\quad \\ 1+ar=\quad u\\ a=\quad u'\\ a=\frac { du }{ dr } \\ dr=\quad \frac { du }{ a } \\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { a }{ { u }^{ 2 } } *\frac { du }{ a } =\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ { u }^{ 2 } } du=\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ -\frac { 1 }{ u } =\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ -\frac { 1 }{ 1+ar }  }  }  }  } \quad \quad \quad \\ \\ Oben\quad ist\quad meine\quad Antwort...\\ Der\quad Aufgabensteller\quad gibt\quad aber\quad \frac { a }{ 1+a } als\quad Antwort\quad an.\quad Wo\quad habe\quad ich\quad oben\quad einen\quad Fehler\quad gemacht?\quad $$

Comments

Sobald du die Stammfunktion bildest kommt das Integralzeichen Weg. Beim bestimmten Integral schreibt man dann die eckigen Klammern [].

Und dann solltest du auch noch die Integrationsgrenzen einsetzen um das bestimmte Integral zu berechnen.

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Der Anfang sieht gar nicht schlecht aus! 

Die Zeile mit deinen 4 Integralen:

die mittleren beiden haben falsche Grenzen. 

Das dritte und vierte Integralzeichen müssen weg. 

Zum Schluss solltest du noch die Grenzen einsetzen und die beiden Brüche richtig voneinander subtrahieren. 

Answer 1

F(x) = ∫ a/(1 + a·x)^2 dx

Subst

z = 1 + a·x --> 1 dz = a dx --> dx = 1/a dz

= ∫ a/(z)^2 1/a dz

= ∫ 1/z^2 dz

= ∫ z^{-2} dz

= - z^{-1} + C

= - 1/z + C

Resubst

F(x) = - 1/(1 + a·x)

Nun noch die Grenzen einsetzen

F(1) - F(0) = - 1/(1 + a·1) - (- 1/(1 + a·0)) = - 1/(1 + a) + 1 = (1 + a)/(1 + a) - 1/(1 + a) = a/(1 + a)

Answer 2

du musst die beiden  letzten Integralzeichen weglassen, dann hast du am Schluss 

einen Stammfunktionsterm   F(r) = -1 / (ar +1)

Einsetzen der Grenzen ergibt  F(1) - F(0) = -1 /(1+a) + 1 = a / (1+a)

[ nach dem Einsetzen von du müssen beim ∫ auch "u-Grenzen" stehen. Die kannst du provisorisch u₁ und u₂ nennen, weil du u - und damit die Grenzen - sowieso wieder ersetzt ] 

Gruß Wolfgang