Finde meinen Fehler bei Aufgabe zur Logaritmischen Integration nicht

Question

Aufgabe:

$$\int \limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{x}{sin^2(x)}\quad dx$$

Ansatz:

$$=\int \limits_{\pi/6}^{\pi/2} x\cdot \frac{1}{sin^2(x)}\quad dx = x \cdot -cot(x)+ \int \limits_{\pi/6}^{\pi/2}\cot(x)\quad dx $$

$$= -\frac{\pi}{2}\cdot cot(\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{6}\cdot cot(\frac{\pi}{6})+(ln(|sin(\frac{\pi}{2})|)-ln(|sin(\frac{\pi}{6})|)$$

Problem:

die Lösung wäre$$\frac{\sqrt3\cdot \pi}{6} + ln(2)$$.

Meine Lösung: $$\frac{\sqrt3\cdot \pi}{6} + \frac{1}{2}$$.

Aber ich komm auf was anderes, wo könnte mein Fehler liegen?

Comments

vgl:

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Aloha :)

$$\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\sin^2(x)}}_{=v'}\,dx=\left[\int\limits\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{(-\cot x)}_{=v}\,dx\right]_{\pi/6}^{\pi/2}-\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{(-\cot x)}_{=v}\,dx$$$$\qquad=\left(0+\frac\pi6\cdot\sqrt3\right)+\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x}\,dx=\frac{\pi\sqrt3}6+\left[\ln\left|\sin x\right|\right]_{\pi/6}^{\pi/2}$$$$\qquad=\frac{\pi\sqrt3}6+\left(\ln(1)-\ln\left(\frac12\right)\right)=\frac{\pi\sqrt3}6+\left(0+\ln2\right)=\frac{\pi\sqrt3}6+\ln2$$

Du musst dich irgendwo am Ende mit dem Logarithmus verfummelt haben.

Comments

Hab meinen Fehler jetzt gefunden, hab dummerweise einfach das 'ln' am Ende vergessen, dann habe ich 0-ln(1/2) und das zusammen gefasst gibt ln2. Danke :D

Answer 2

Hallo

das ist genau die Lösung nur die einfachen cot und sin Werte eingesetzt. z. B, sin(pi/2)/sin(pi/6)=2 daher die ln2

cot(pi/2)=0  cot(pi/6)=√3

d.h. du hast keinen Fehler !

Gruß lul

Answer 3

Hallo,

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Answer 4

Hallo:-)

Es gilt \(\sin(\frac{\pi}{2})=1\) und \(\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\).

Also ist

\(\ln(\sin(\frac{\pi}{2}))-\ln(\sin(\frac{\pi}{6}))=\ln(1)-\ln(\frac{1}{2})=\ln\left(\frac{1}{\frac{1}{2}}\right)=\ln(2)\)