Gegeben ist die Schar f, berechnen Sie die Nullstellen und geben die Linearfaktorform an

Question

Gegeben ist die Schar f (x) = -x² + 3kx + 4k², berechnen Sie die Nullstellen und geben sie die Linearfaktorform an. 

Answer 1

f (x) = -x² + 3kx + 4k² = 0  | :  (-1)  # bei Linearfaktorzerlegung zu beachten!

x² - 3kx + 4k² = 0

x² + px + q = 0

pq-Formel:  p =-3k  ; q = 4k² 

x_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\)

x_1,2 = 3k/2 ± \(\sqrt{9k²/4 + 4k²}\) = -3k/2 ± 5/2 k 

x₁ = k   , x₂ = - 4k

Linearfaktorzerlegung:  f(x) = - (x+k) · (x - 4k)

Gruß Wolfgang

Comments

Kann noch jemand kurz erläutern wie man von 9k²/4 + 4k²

^{auf 5/2k kommt ? Wäre super.}

---

 \(\frac{9k^2}{4}\) + 4k =   \(\frac{9k^2}{4}\) +  \(\frac{16k^2}{4}\) =  \(\frac{25k^2}{4}\) 

√\(\frac{25k^2}{4}\) =  \(\frac{5k}{2}\) 

---

Tipp mal in den Taschenrechner ein 9/4 + 4 ...

Und aus dem Ergebnis lässt du jetzt noch den TR die Wurzel ziehen. Natürlich können das geübte Leute auch im Kopf machen aber bei Benutzung des Taschenrechners machen die meisten Leute weniger Fehler.

Answer 2

f(x) = - x^2 + 3·k·x + 4·k^2 = 0

x^2 - 3·k·x - 4·k^2 = 0

x = 3/2·k ± √(9/4·k^2 + 4·k^2) = 3/2·k ± 5/2·k

x = 4·k ∨ x = -k

Faktorisierte Form

f(x) = - x^2 + 3·k·x + 4·k^2 = - (x - 4·k)·(x + k)

Answer 3

Du kannst die Diskriminante in deiner letzten Frage wiederverwenden https://www.mathelounge.de/365295/bestimmen-sie-die-diskriminante-der-schar-f-x-x²-3kx-4k² und die Formel für quadratische Gleichungen hervorsuchen.

Alternativ:

f (x) = -x² + 3kx + 4k²

= - (x^2 - 3kx - 4k^2)       | faktorisieren mit Vieta. 

= - (x - 4k)(x+k) 

x1 = 4k, x2 = -k 

Nachrechnen und Probe durch Einsetzen bitte selber fertig machen.  

-16k^2 + 12k^2 + 4k^2 = 0.

und ....