Nullstellen von e-schar berechnen

Question

Aufgabe:

f(x) = e^ax - ae^x

Wie bekomme ich von dieser funktion die nullstellen.

Und für welches a ist dies eine besondere funktion?
Problem/Ansatz:

Answer 1

Wie bekomme ich von dieser funktion die nullstellen.

Indem du die Gleichung

        0 = e^ax - ae^x

nach x löst.

Und für welches a ist dies eine besondere funktion?

Für a = 1.

Answer 2

Wie bekomme ich von dieser funktion die nullstellen.

f(x) = e^(a·x) - a·e^x = 0
e^(a·x) = a·e^x
e^(a·x) / e^x = a
e^((a - 1)·x) = a
(a - 1)·x = ln(a)
x = ln(a) / (a - 1)

Und für welches a ist dies eine besondere funktion?

Was ist z.b. für a = 0 oder a = 1?

Comments

Wie kommt man vom 3ten zum 4ten schritt das verstehe ich nicht ganz

Und beim zweiten aufgabenteil könnte a = 0 und 1 gemeint sein

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Potenzgesetz

e^(a·x) / e^x = a
e^(a·x - x) = a
e^(a·x - 1·x) = a
e^((a - 1)·x) = a

Answer 3

Hallo,

\( \begin{aligned} y=e^{a x}-a e^{x} &=0 \\ e^{a x} &=a \cdot e^{x} \quad |: e^{a x} \\ 1 &=a \cdot \frac{e^{x}}{e^{a x}} \\ \frac{1}{a} &=e^{(x-a x)} \quad | \ln (...) \\ \ln (1)-\ln (a) &=x-a x \\-\ln (a) &=x(1-a ) \quad |:(1-a)\\ x &=\frac{-\ln (a)}{1-a} \\ x &=\frac{\ln (a)}{a-1} \\ &(a \neq 0, a \neq 1) \end{aligned} \)

besondere Funktion . a=1

 

Answer 4

Aloha :)

$$0=e^{ax}-ae^x=(e^x)^a-ae^x=e^x\left[(e^x)^{a-1}-a\right]$$Da die \(e^x\)-Funktion \(>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist, kann nur die eckige Klammer \(=0\) werden:$$\left.(e^x)^{a-1}-a=0\quad\right|\;+a$$$$\left.(e^x)^{a-1}=a\quad\right|\;\ln(\cdots)\quad\text{für}\quad a>0$$$$\left.(a-1)x=\ln a\quad\right|\;:(a-1)\quad\text{für}\quad a\ne1$$$$x=\frac{\ln a}{a-1}\quad\text{für}\quad a>0\,,\,a\ne1$$Beachte, dass wir auf dem Rechenweg durch \(a-1\) dividiert haben und das Ergebnis daher für \(a=1\) nicht gilt [denn dann hätten wir durch \(0\) dividiert]. Der Fall \(a=1\) ist daher ein Sonderfall, denn dann ist$$f_{a=1}(x)=\left[e^{ax}-ae^x\right]_{a=1}=e^x-e^x=0$$Für \(a=1\) ist \(f(x)=0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\).