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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Abbildung \(f\) kannst du in Matrix-Form schreiben:$$f(x;y)=\binom{x+y}{2x-y}=\binom{1}{2}\cdot x+\binom{1}{-1}\cdot y=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & -1\end{array}\right)}_{M}\cdot\binom{x}{y}$$
Die Abbildungsmatrix \(M\) erwartet Eingangsvektoren, deren Koordinaten bezüglich der kanonischen Standardbasis angegeben sind, und liefert Ergebnisvektoren, deren Koordinaten ebenfalls bezüglich der kanonischen Standardbasis angegeben sind.
Da die angegebene Basis \(A\) gleich der kanonischen Standardbasis ist, gilt: \({M^A}_A=M\).
zu (iii): Wir sollen nun die Abbildungsmatrix \({M^A}_B\) für die Abbildung \(f\) bestimmen, die Eingangsvektoren erwartet, deren Komponenten bezüglich der Basis \(B\) angegeben sind, und Ergebnisvektoren liefert, deren Koordinaten bezüglich der Basis \(A\) angegeben sind.
Wir müssen also die Komponenten der Eingangsvektoren von der Basis \(B\) in die Basis \(A\) transformieren, bevor wir die Abbildungsmatrix \({M^A}_A\) darauf anwenden können:$${M^A}_B={M^A}_A\cdot{\operatorname{id}^A}_B$$
Die Transformationsmatrix \({\operatorname{id}^A}_B\) von \(B\) nach \(A\) kennen wir bereits, denn wir wissen, wie die Basisvektoren von \(B\) in der Standardbasis \(A\) aussehen:$$\small B=\left\{\binom{1}{2},\binom{2}{1}\right\}\;\implies\;\binom{1}{0}_B=\binom{1}{2}\;;\;\binom{0}{1}_B=\binom{2}{1}\;\implies\;{\operatorname{id}^A}_B=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 1 \end{array}\right)$$
Wir brauchen also nur die Basisvektoren von \(B\) in die Transformationsmatrix zu schreiben:$${M^A}_B=\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & -1 \end{array}\right)}_{={M^A}_A}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & 1 \end{array}\right)}_{{\operatorname{id}^A}_B}=\left(\begin{array}{rr}3 & 3\\0 & 3\end{array}\right)$$
Auf analoge Weise "bauen" wir die Transformationsmatrix \({M^C}_C\). Wir wandeln die Eingangsvektoren von der Basis \(C\) in die Basis \(A\) um, lassen \({M^A}_A\) darauf wirken und wandeln die Ergebnisvektoren von der Basis \(A\) in die Basis \(C\) zurück:$${M^C}_C={\operatorname{id}^C}_A\cdot {M^A}_A\cdot{\operatorname{id}^A}_C$$
Die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(A\) kriegen wir wieder geschenkt, weil die Basisvektoren von \(C\) in der kanonischen Basis angegeben sind:$${\operatorname{id}^A}_C=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$In die umgekehrte Richtung, also von \(A\) nach \(C\) wird mit der inversen Matrix transformiert:$${\operatorname{id}^C}_A=\left({\operatorname{id}^A}_C\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\0 & 1\end{array}\right)^{-1}=\frac13\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 3\end{array}\right)$$
Wir erhalten damit:$${M^C}_C=\frac13\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\0 & 3\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\2 & -1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}3 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-1 & \frac13\\[1ex]6 & 1\end{array}\right)$$
zu (iv) Den Vektor \(\binom{4}{2}\) in der kanonischen Standardbasis \(A\) schreiben wir mit Hilfe von Basisvektoren aus \(B\):$$\binom{4}{2}=0\cdot\binom{1}{2}+2\cdot\binom{2}{1}=0\cdot\binom{1}{0}_B+2\cdot\binom{0}{1}_B=\binom{0}{2}_B$$
Der gesuchte Funktionswert ist daher:$$f(4;2)={M^A}_B\cdot\binom{0}{2}_B=\left(\begin{array}{rr}3 & 3\\0 & 3\end{array}\right)\cdot\binom{0}{2}_B=\binom{6}{6}$$
