Gleichung lösen mit Potenzen: 3^{4x+1} = 2 * 4^x

Question

folgende Gleichung:

 

3^4x+1 = 2 * 4^x

mit dem log kann ich das so ja nicht berechnen. muss ich da zuerst auf die gleiche basis bringen?

Answer 1

Hi elisa,

gehe so vor:


3^{4x+1} = 2*4^x

3^{4x}*3 = 2*4^x

81^x*3 = 2*4^x        |:4^x :3, bedenke a^x/b^x = (a/b)^x

(81/4)^x = 2/3         |ln

x*ln(81/4) = ln(2/3)

x = ln(2/3)/(ln(81/4)) ≈ -0,1348


Grüße

Comments

ist zwar nicht von mir gefragt worden haben würde trotzdem gerne wissen wieso man die ^+1 weg macht und dann eine mal 3 ? wieso ist das so

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Hi aznulove,

nachfragen ist immer erlaubt^^.


Das ist das Potengesetz a^{n+m} = a^n*a^m

Und bei uns eben 3^{4x+1} = 3^{4x}*3^1 = 3^{4x}*3


:)

Answer 2

ja , man muss einen Ausdruck zur Potenz x auf der eine Seite finden und auf der anderen Seite ein Zahl.

3^4x+1 = 2 * 4^x -> 3^4x * 3 = 2*4^x -> (3⁴)^x *3 = 2*4^x -> 3* (3⁴)^x / 4^x = 2 -> (3⁴)^x / 4^x = 2/3  -> (81/4)^x = 2/3 nun beide Seite mit log zur Basis 81/4 ergibt als Lösung x = - 0,13313

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Hi Bepprich,

Du scheinst Dich bei der Eingabe in den TR vertippt zu haben?

Abgesehen vom Ergebnis ist nämlich alles richtig :).

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Hi Unkown,


ja ich habe mich vertippt, statt 0,6666666666667 habe ich einfach 0,67 eingetippt .-) Dein Ergebnis ist richtig.

Es kommt auf den Weg drauf an und vor allem dass Elisa es verstanden hat.

Answer 3

3^4x+1 = 2 * 4^x

ln( 3^{4x+1} = ln( 2 * 4^x ) = ln(2) + ln(4^x)
( 4 * x + 1 ) * ln (3 ) = ln ( 2 ) + x * ln ( 4 )
4 * x * ln(3) + ln ( 3 ) = ln ( 2 ) + x * ln ( 4 )
4 * ln ( 3 ) * x - ln ( 4 ) * x = ln ( 2 ) - ln ( 3 )
x * [ 4 * ln ( 3 ) - ln ( 4 ) ] =  ln ( 2 ) - ln ( 3 )
x = [ ln ( 2 ) - ln ( 3 ) ] / [  4 * ln ( 3 ) - ln ( 4 ) ]
x = -0.135
Probe
3^{4*-0.135+1} = 2 * 4^{-0.135}
1.658 =  1.658

Erscheint mir reichlich umständlich.
Das Ergebnis stimmt aber.

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg
 

Answer 4

Das Ergebnis müßte folgendes sein:


x  =  - ( Log(3/2) / Log(81/4) )

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Sorry, die Antwort gibt es ja bereits.

Da hätte ich mir die Arbeit sparen können.