Potenzen mit unterschiedlicher Basis und Exponenten

Question

Aufgabe:

Rechnen Sie die folgenden Ausdrücke möglichst einfach aus.

2^2 * 10^3 - 15^3

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich bei Potenzen mit unterschiedlicher Basis, als auch unterschiedlichem Exponenten, vorgehen soll. Ich würde die Basis gleich machen, indem ich die 10 und die 15 in Produkte zerlege. Zum Beispiel: 2^2 * (2*5)^3 - (3*15)^3. Habe aber keine Ahnung ob das der richtige Ansatz ist und wie ich von da aus weiter vorgehen soll. Bin über jede Hilfe dankbar :-)

Answer 1

Deine Zerlegung enthält einen Fehler. Ohne diesen geht deine Idee so weiter:

2^{2} * (2*5)^{3} - (3*5)^{3} =

2^{2} * 2^{3} * 5^{3} - 3^{3} * 5^{3} =

( 2^{2} * 2^{3} - 3^{3} ) * 5^{3} =

( 32 - 27 ) * 5^{3} =

5 * 5^{3} =

5^{4} =

625.

Answer 2

2^2·10^3 - 15^3

= 2^2·(2·5)^3 - (3·5)^3

= 2^2·2^3·5^3 - 3^3·5^3

= 2^5·5^3 - 3^3·5^3

= (2^5 - 3^3)·5^3

= (32 - 27)·125

= 5·125

= 625

Ok. Vielleicht hätte es da auch eine einfachere Lösung gegeben...

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Ich würde dir gerne den Daumen hoch geben, aber irgendwie geht das nicht / darf ich nicht.

Answer 3

2^2 * 10^3 - 15^3
4 * 1000 - 3375
625

Answer 4

Mathecoach hat schon den Weg gezeigt, den ich eigentlich auch angeben wollte. Der Editor hat mir dabei ein Bein gestellt und meinen Versuch vereitelt.

Aber ich frage mich, ob sich da spezielle Vereinfachungen überhaupt lohnen. Man sieht ja sofort, dass der erste Teilterm 4000 ergibt. Und weiter haben wir dann:

4000 - 15³ = 4000 - 3375 = 625

Naja, ob 15³ als Kopfrechnung geht, hängt halt ein wenig vom Kopf ab ...

Answer 5

 = 2^2* 2^3*5^3 - 3^3*5^3

= 32*5^3 -27*5^3 = 5*5^3 = 5*4 = 625