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Text erkannt:

\( 3^{2 x}=5^{3 x-1} \)
Löse für \( x \)

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Text erkannt:

\( 4^{3-4 x}=5^{2 x+1} \)
Löse für \( \mathrm{x} \)


Problem/Ansatz:


Hallo!

Das ist hier mein erster Thread in diesem Mathe Forum, also verzeit mir bitte etwaige Fehler:)


Problem: Die beiden Aufgaben muss ich mit dem Logarithmus lösen. Gegeben ist die Lösung und als Aufgabe steht:


„Löse die Exponentialgleichung mit dem einfachsten Lösungsweg mit dem Logarithmus“


Lösung 1. Aufgabe = 0,6117

Lösung 2. Aufgabe = 0,2909


Ich hoffe wirklich auf Hilfe, da ich daran schon seit Tagen verzweifle :)


Beste Grüße

Luca

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Beste Antwort

Aloha :)

Willkommen bei uns in der Mathelounge... \o/

$$3^{2x}=5^{3x-1}\quad\big|\cdot5$$$$5\cdot3^{2x}=5^{3x}\quad\big|(a^b)^c=a^{bc}\text{ anwenden}$$$$5\cdot(3^2)^x=(5^3)^x\quad\big|\text{Potenzen ausrechnen}$$$$5\cdot9^x=125^x\quad\big|\div 9^x$$$$\frac{125^x}{9^x}=5\quad\bigg|\frac{a^c}{b^c}=\left(\frac ab\right)^c\text{ anwenden}$$$$\left(\frac{125}{9}\right)^x=5\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$x\ln\left(\frac{125}{9}\right)=\ln(5)\quad\bigg|\div\ln\left(\frac{125}{9}\right)$$$$x=\frac{\ln(5)}{\ln\left(\frac{125}{9}\right)}\approx0,6117$$


$$4^{3-4x}=5^{2x+1}\quad\big|a^{b+c}=a^b+a^c\text{ anwenden}$$$$4^3\cdot 4^{-4x}=5^{2x}\cdot 5^1\quad\bigg|a^{-b}=\frac{1}{a^b}\text{ anwenden}$$$$4^3\cdot\frac{1}{4^{4x}}=5^{2x}\cdot 5\quad\bigg|\div5$$$$\frac{4^3}{5}\cdot\frac{1}{4^{4x}}=5^{2x}\quad\bigg|\cdot 4^{4x}$$$$\frac{4^3}{5}=5^{2x}\cdot4^{4x}\quad\bigg|a^{bc}=(a^b)^c\text{ anwenden}$$$$\frac{4^3}{5}=(5^2)^x\cdot(4^4)^x\quad\big|\text{Potenzen ausrechnen}$$$$\frac{64}{5}=(25)^x\cdot(256)^x\quad\big|a^c\cdot b^c=(a\cdot b)^c\text{ anwenden}$$$$\frac{64}{5}=(25\cdot256)^x=6400^x\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\ln\left(\frac{64}{5}\right)=x\ln(6400)\quad\big|\div\ln(6400)$$$$x=\frac{\ln\left(\frac{64}{5}\right)}{\ln(6400)}\approx0,2909$$

Avatar von 152 k 🚀

Wow!


Vielen, Vielen Dank!


Beste Grüße

Luca

Wow!


Vielen, Vielen Dank!


Nur eine mini Frage hab ich noch… Warum hast du bei der ersten Aufgabe, im ersten Schritt •5 gerechnet?


Beste Grüße

Luca

Um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen:

\(5\cdot 5^{3x-1}=5^1\cdot 5^{3x}\cdot 5^{-1}=5^{1+3x-1}=5^{3x}\)

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Logarithmieren liefert:

\(\ln(3^{2x})=\ln(5^{3x-1})\iff 2x\ln(3)=(3x-1)\ln(5)\).

Nun stelle nach \(x\) um. Die zweite Aufgabe geht analog.

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Hi!


Tut mir leid, nur ich blicke bei deiner Antwort nicht durch…


Und was meinst du mit Analog lösen?


Grüße

Luca

Und was meinst du mit Analog lösen?

Auf die gleiche Weise lösen.

Kennst du denn nicht die Rechenregeln für Logarithmen?

Die solltest du schleunigst lernen !!!

Und eine Gleichung nach einer Variablen umzustellen

(aufzulösen) dürfte doch kein Problem sein:

\(2x\ln(3)=(3x-1)\ln(5)\iff\)

\( 2x\ln(3)-3x\ln(5)=-\ln(5)\iff\)

\( x=\frac{-ln(5)}{2\ln(3)-3\ln(5)}\) ...

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