Exponentialgleichung mit unterschiedlicher Basis lösen

Question

Aufgabe

Text erkannt:

\( 3^{2 x}=5^{3 x-1} \)
Löse für \( x \)

Text erkannt:

\( 4^{3-4 x}=5^{2 x+1} \)
Löse für \( \mathrm{x} \)

Problem/Ansatz:

Hallo!

Das ist hier mein erster Thread in diesem Mathe Forum, also verzeit mir bitte etwaige Fehler:)

Problem: Die beiden Aufgaben muss ich mit dem Logarithmus lösen. Gegeben ist die Lösung und als Aufgabe steht:

„Löse die Exponentialgleichung mit dem einfachsten Lösungsweg mit dem Logarithmus“

Lösung 1. Aufgabe = 0,6117

Lösung 2. Aufgabe = 0,2909

Ich hoffe wirklich auf Hilfe, da ich daran schon seit Tagen verzweifle :)

Beste Grüße

Luca

Answer 1

Aloha :)

Willkommen bei uns in der Mathelounge... \o/

$$3^{2x}=5^{3x-1}\quad\big|\cdot5$$$$5\cdot3^{2x}=5^{3x}\quad\big|(a^b)^c=a^{bc}\text{ anwenden}$$$$5\cdot(3^2)^x=(5^3)^x\quad\big|\text{Potenzen ausrechnen}$$$$5\cdot9^x=125^x\quad\big|\div 9^x$$$$\frac{125^x}{9^x}=5\quad\bigg|\frac{a^c}{b^c}=\left(\frac ab\right)^c\text{ anwenden}$$$$\left(\frac{125}{9}\right)^x=5\quad\bigg|\ln(\cdots)$$$$x\ln\left(\frac{125}{9}\right)=\ln(5)\quad\bigg|\div\ln\left(\frac{125}{9}\right)$$$$x=\frac{\ln(5)}{\ln\left(\frac{125}{9}\right)}\approx0,6117$$

$$4^{3-4x}=5^{2x+1}\quad\big|a^{b+c}=a^b+a^c\text{ anwenden}$$$$4^3\cdot 4^{-4x}=5^{2x}\cdot 5^1\quad\bigg|a^{-b}=\frac{1}{a^b}\text{ anwenden}$$$$4^3\cdot\frac{1}{4^{4x}}=5^{2x}\cdot 5\quad\bigg|\div5$$$$\frac{4^3}{5}\cdot\frac{1}{4^{4x}}=5^{2x}\quad\bigg|\cdot 4^{4x}$$$$\frac{4^3}{5}=5^{2x}\cdot4^{4x}\quad\bigg|a^{bc}=(a^b)^c\text{ anwenden}$$$$\frac{4^3}{5}=(5^2)^x\cdot(4^4)^x\quad\big|\text{Potenzen ausrechnen}$$$$\frac{64}{5}=(25)^x\cdot(256)^x\quad\big|a^c\cdot b^c=(a\cdot b)^c\text{ anwenden}$$$$\frac{64}{5}=(25\cdot256)^x=6400^x\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\ln\left(\frac{64}{5}\right)=x\ln(6400)\quad\big|\div\ln(6400)$$$$x=\frac{\ln\left(\frac{64}{5}\right)}{\ln(6400)}\approx0,2909$$

Comments

Wow!

Vielen, Vielen Dank!

Beste Grüße

Luca

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Wow!

Vielen, Vielen Dank!

Nur eine mini Frage hab ich noch… Warum hast du bei der ersten Aufgabe, im ersten Schritt •5 gerechnet?

Beste Grüße

Luca

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Um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen:

\(5\cdot 5^{3x-1}=5^1\cdot 5^{3x}\cdot 5^{-1}=5^{1+3x-1}=5^{3x}\)

Answer 2

Logarithmieren liefert:

\(\ln(3^{2x})=\ln(5^{3x-1})\iff 2x\ln(3)=(3x-1)\ln(5)\).

Nun stelle nach \(x\) um. Die zweite Aufgabe geht analog.

Comments

Hi!

Tut mir leid, nur ich blicke bei deiner Antwort nicht durch…

Und was meinst du mit Analog lösen?

Grüße

Luca

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Und was meinst du mit Analog lösen?

Auf die gleiche Weise lösen.

Kennst du denn nicht die Rechenregeln für Logarithmen?

Die solltest du schleunigst lernen !!!

Und eine Gleichung nach einer Variablen umzustellen

(aufzulösen) dürfte doch kein Problem sein:

\(2x\ln(3)=(3x-1)\ln(5)\iff\)

\( 2x\ln(3)-3x\ln(5)=-\ln(5)\iff\)

\( x=\frac{-ln(5)}{2\ln(3)-3\ln(5)}\) ...