Berechnen und skizzieren Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion (Cauchy-Verteilung)

Question

Aufgabe:

Die Verteilung einer ZV mit der Dichte

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi b\left(1+\Large\frac{(x-a)^{2}}{b^{2}}\right)} \)

für \( a, b \in \mathbb{R}, b>0 \), heißt Cauchy-Verteilung und wird mit Cauchy \( (a, b) \) bezeichnet. Für die ZV \( X \) gelte nun \( X \sim \operatorname{Cauchy}(0,1) \).

a) Skizzieren Sie die Dichte \( f_{X} \).

b) Berechnen und skizzieren Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion \( F_{X} \) von \( X \).

c) Berechnen Sie Median, Erwartungswert und Varianz von \( X \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich das mit dem X ~ Cauchy (0,1) mache. Und wie wirkt sich das auf den Rest aus?

Comments

Wie man eine Funktion skizziert, weißt du?

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Wie man eine Funktion skizziert, weißt du?

Die Bemerkung war dann doch etwas unüberlegt. Das eigentliche Anliegen des Fragestellers war

Ich verstehe nicht wie ich das mit dem X ~ Cauchy (0,1) mache.

Answer 1

X ~ Cauchy (0,1) heißt, dass man in \( f(x)=\frac{1}{\pi b\left(1+\frac{(x-a)^{2}}{b^{2}}\right)} \) für a den Wert 0 und für b den Wert 1 einsetzt.

Comments

Okay danke. Dachte da steckt mehr dahinter

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Hast du vielleicht die Zeit, dir die c) anzuschauen?
Ich hätte gesagt, der Median müsste ja 0 sein, da die funktion symmetrisch ist.
erwartungswert und varianz existieren ja nicht wegen der divergenz des integrals.

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Hier stand Blödsinn.

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Das Integral  von -∞ bis ∞      x*f(x) dx  
divergiert doch, da die Stammfunktion durch Substitution 1/2π * ln(1+x^2) ist ?

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dass die Werte sehr wohl existieren.

Erstaunlich. Wie lauten sie denn?

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Ach, entschuldige. Hatte die falsche Verteilung. Ja, die Werte existieren nicht.

Answer 2

Dichte- und Vertellungsfunktion: