Reelle Funktion. f+(x):=max( f(x) , 0 ) und f-(x):=min( f(x) , 0).Zeige: f(x)=f+(x)+f-(x) und l f(x) l =f+(x) - f-(x).

Question

Aufgabe:

Für eine Funktion f:ℝ→ℝ bezeichne mit f₊ und f_- die Funktionen f₊(x)=max( f(x) , 0 ) und f_-(x)=min( f(x) , 0).

Beweisen Sie für jedes x∈ℝ die Formeln f(x)=f₊(x)+f_-(x) und  l f(x) l =f₊(x) - f_-(x). Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn f₊ und f_- beide stetig sind.

Bei den Formeln dachte ich, dass man die Definitionen einsetzen kann, wüsste dann aber nicht weiter.

Answer 1

Man macht einfach für beide Fälle eine Fallunterscheidung:

 

f(x) = f₊(x)+f_-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f_-(x) = 0, f₊(x) = f(x) ⇒ f(x) = f₊(x)+f_-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f_-(x) = f(x), f₊(x) = 0 ⇒ f(x) = f₊(x)+f_-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f_-(x) = 0, f₊(x) = 0 ⇒ f(x) = f₊(x)+f_-(x)

 

lf(x)l =f₊(x) - f_-(x):

Falls f(x) > 0 ⇒ f_-(x) = 0, f₊(x) = f(x) ⇒ |f(x)| = f(x) = f₊(x)-f_-(x)

Falls f(x) < 0 ⇒ f_-(x) = f(x), f₊(x) = 0 ⇒ |f(x)| = -f(x) = f₊(x)-f_-(x)

Falls f(x) = 0 ⇒ f_-(x) = 0, f₊(x) = 0 ⇒ |f(x)| = 0 = f₊(x)+f_-(x)

 

Für die zweite Aufgabe: Zu zeigen ist:

i) f₊(x), f_-(x) sind stetig ⇒ f(x) ist stetig.

ii) f(x) ist stetig ⇒ f₊(x), f_-(x) sind stetig.

 

i) ist sehr leicht, denn die Summe von stetigen Funktionen ist wieder stetig.

ii) Wenn f(x) stetig ist, dann ist auch |f(x)| stetig, weil die Betragsfunktion stetig ist und die Superposition stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Dann ist aber auch (f(x)+|f(x)|)/2 stetig, weil das wieder die Summe zweier stetiger Funktionen ist. Es gilt aber:

(f(x) + |f(x)|)/2 = (f₊(x)+f_-(x) + f₊(x)-f_-(x))/2 = f₊(x)

Also ist f₊(x) stetig.

Analog erhält man mit (f(x)-|f(x))/2 = f_-(x), also ist auch f_-(x) stetig.

 

Comments

Danke für deine Hilfe.

Aber wie kann denn bei letzten Teil wo man die Stetigkeit zeigen soll f_-(x) rauskommen? Das würde doch nicht gehen, wenn man es mit deiner Rechnung macht oder sehe ich das jetzt falsch?

Da würde sich doch der Zähler komplett wegkürzen?!

$$ \frac { f ( x ) - | f ( x ) | } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - f _ { + } ( x ) - f _ { - } ( x ) } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) - f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - f _ { - } ( x ) } { 2 } = \frac { 0 } { 2 } $$

---

Nein, du darfst die Klammer nicht vergessen:

$$ \frac { f ( x ) - | f ( x ) | } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - \left( f _ { + } ( x ) - f _ { - } ( x ) \right) } { 2 } = \frac { f _ { + } ( x ) - f _ { + } ( x ) + f _ { - } ( x ) - \left( - f _ { - } ( x ) \right) } { 2 } = \frac { 2 f _ { - } ( x ) } { 2 } = f _ { - } ( x ) $$