Ist √9 gleich 3 oder gleich +/-3?

Question

Hallo, liebe Mathe-Kundige.

Wir hatten heute eine Diskussion mit unserem Tutor.

Ist \(\sqrt9\) gleich \(3\) oder gleich \(\pm3\)?

Ich weiß, die Frage klingt banal, aber je nachdem, wo ich im Netz schaue, gibt es unterschiedliche Antworten.

Daher wollte ich mal in einem Experten-Forum nachfragen.

Danke euch im Voraus.

Comments

Was hat denn dein Tutor gesagt?

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Mein Tutor meinte: \(\sqrt9=\pm3\).

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Das wäre nur zu entschuldigen, wenn ihr gerade komplexe Zahlen betrachtet.

Anderenfalls ist er inkompetent.

Übrigens - falls das Missverständnis einer Aussage des Tutors bei dir liegt:

"Lösungen von x²=9" ist was anderes als "Wurzel aus 9".

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Das wäre nur zu entschuldigen, wenn ihr gerade komplexe Zahlen betrachtet.

Auch dann nicht...

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Es wäre interessant zu erfahren, in welchem Fachbereich dieser Tutor tutet? Ehm tutoriert. Ich meine, engagiert worden ist. Denn nicht nur Mathestudis beschäftigen sich mit dem Wurzelziehen, auch Lehrveranstaltungen in Kulturmanagement, Zahnheilkunde oder Gender Studies behandeln es.

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Nach Wikipedia und DIN 1302 gilt die Vereinbarung der Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen:

(c) https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)

Answer 1

Aloha :)

Die Wurzelfunktion ist nur für nicht-negative reelle Zahlen definiert und liefert auch stets nicht-negative reelle Zahlen.

Daher ist:\(\quad\sqrt9=3\)

Du darfst \(\sqrt9\) nicht mit der Lösung der Gleichung \(x^2=9\) verwechseln, denn die ist tatsächlich \(\pm3\), wie die folgende Rechnung zeigt:$$x^2=9\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$\sqrt{x^2}=\sqrt9$$Die Wurzel von \(x^2\) ist der Betrag von \(x\), da die Wurzelfunktion ja nur Ergebnisse \(\ge0\) liefert:$$|x|=3$$Durch den Betrag erhalten wir als Lösungen \(x=3\) und \(x=-3\).

Answer 2

Es gibt keinen Grund - außer sauberer Konvention - wieso die Wurzel von \(9\) nicht auch \(-3\) sein könnte. Beide Werte bieten sich an. In den komplexen Zahlen wird es noch klarer, dass es keine "eindeutig beste Wahl von \(\sqrt{z}\)" geben kann. Als Makro gesehen könnte es durchaus Sinn machen, die Zeichenkette \(\sqrt{9}\) als das gleiche wie \(\pm3\) zu interpretieren.

Aber: Möchtest du eine Wurzelfunktion haben, muss jeder legale Input genau einen Output haben. In dem Moment, wo dein Tutor "Wurzelfunktion" sagt, macht \(\sqrt{9}=\pm3\) keinen Sinn mehr. Das ist auch die absolute Standardherangehensweise an Wurzeln. Wenn du nichts sehr eindeutiges in der Vorlesung gehört hast, was dieser Ansicht widerspricht, dann solltest du davon ausgehen, dass Wurzeln auch bei dir Funktionen sind. Ich würde also eher davon ausgehen, dass dein Tutor hier im Unrecht liegt, als die ganz kleine Chance anzunehmen, dass in eurer Vorlesung genau solch ein gekünstelter Kontext eingeführt wurde, sodass \(\sqrt{9}=\pm3\) eine korrekte "Gleichung" (eher: ein korrektes Makro) ist.