Aloha :)
Schreibe dir das Gleichungssystem als Tabelle auf:$$\begin{array}{rrr|r||l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline\hline1 & 1 & 1 & 4 &\\-2 & -1 & 2 & 9 &\\2 & 3 & 6 &25 &\end{array}$$
Nun vereinfach das Gleichungssystem durch elementare Zeilenumformungen. Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen.
$$\begin{array}{rrr|r||l}x & y & z & = & \text{Aktion}\\\hline\hline1 & 1 & 1 & 4 &\\-2 & -1 & 2 & 9 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\2 & 3 & 6 &25 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline\green1 & 1 & 1 & 4 &-\text{Zeile 2}\\\green0 & 1 & 4 & 17 &\\\green0 & 1 & 4 & 17 &-\text{Zeile 2}\\\hline\green1 & \red 0 & -3 & -13\\\green0 & \red1 & 4 & 17\\\green0 & \red 0 & 0 & 0 & \checkmark\end{array}$$
Die letzte Gleichung \(0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=0\) ist immer erfüllt. Das soll der Haken symbolisieren. Daher fällt eine Forderung an eine der 3 Variablen weg, d.h. wir können eine der drei Variablen frei wählen. Das heißt, das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Die beiden übrigen Gleichungen können wir "nach der farbigen Eins" umstellen:$$\green x-3z=-13\quad\implies\green x=-13+3z$$$$\red y+4z=17\quad\;\;\;\implies \red y=17-4z$$und können schließlich alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}\green x\\\red y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13+3z\\17-4z\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\\17\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}3\\-4\\1\end{pmatrix}$$
Beachte, dass die Lösung nicht eindeutig ist. Du hättest das Gleichungssystem auch so umformen können, dass die letzte Spalte lauter Nullen und genau eine Eins enthält. Dann würdest du eine andere Darstellung der Lösung erhalten. Aber unabhängig von der formelan Struktur der Lösung liegen alle Lösungspunkte auf derselben Geraden.
