Wie kann man herangehen?

Question

Aufgabe:

n sei eine natürliche Zahl.

Weise nach, dass n^² + 1 kein Mehrfaches sein kann von 3 oder von 4.

Problem/Ansatz:

Wie kann man herangehen ?

Comments

Ich nehme an, Ihr hattet modulo in der Vorlesung?

Answer 1

Probier mal für das Mehrfache von 3 den folgenden Ansatz per Fallunterscheidung:

Jede natürliche Zahl n läßt sich schreiben als: n = 3k oder n=3k+1 oder n=3k+2  mit geeignetem k ∈ ℕ₀

Rechne nun n² + 1 aus und prüfe jeweils, ob das Ergebnis ohne Rest durch 3 teilbar ist. Analog für 4.

Comments

Danke... aber wie komme ich da zum Ziel?

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Wenn z.B. n=3k ist, dann ist n² + 1 = 9k² +1

9k² läßt sich ohne Rest durch 3 teilen, die 1 aber nicht. Analog alle anderen Fälle.

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jaydee, falls sich deine Frage auch auf meine Antwort bezieht, habe ich eine Gegenfrage: Kennst du das Beweisverfahren der vollständigen Induktion?

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Aaahh .... passt. Danke.

Answer 2

Der Nachfolger von a_n=n²+1 ergibt sich durch Addition von 2n-1 beginnend mit a₁=2.

Comments

Erstens ist \(a_n+2n-1=n^2+2n\ne a_{n+1}\), und wie lässt sich zweitens damit die Aufgabe lösen?

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Ich finde die Antworten von Roland häufig sehr kryptisch und damit für den Großteil wohl eher nicht hilfreich. Auch diese Antwort.

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Relevant ist, was der Fragesteller findet.

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((n + 1)^2 + 1) - (n^2 + 1) = 2·n + 1